Física III ⇒ Porcentagem luminosa casca esférica Tópico resolvido

[padeli675]

Uma casca esférica de raio externo R = 7,5 cm e raio interno r = 6,5 cm possui indice de refração 1,5. O seu interior é preenchido com dissulfeto de carbono. (n = 1,6). Uma fonte luminosa é posicionada a uma distância a 6 cm do centro. Qual a porcentagem de energia luminosa que sai do sistema?

gab

Resposta

---

37.5%

[παθμ]

padeli675, vamos considerar o raio de luz que é emitido a um ângulo [tex3]\theta[/tex3], conforme definido abaixo. Seja [tex3]\phi[/tex3] o ângulo que esse raio faz com a normal da esfera de raio [tex3]r[/tex3], seja [tex3]\varphi[/tex3] o ângulo de refração na primeira refração, e seja [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo que o raio faz com a normal da esfera de raio [tex3]R[/tex3].

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Pela lei dos senos:

[tex3]\frac{\sin(180\degree-\theta)}{6,5}=\frac{\sin(\phi)}{6} \Longrightarrow \sin(\phi)=\frac{12}{13}\sin(\theta).[/tex3]

O seno do ângulo limite para a primeira refração é [tex3]\sin(\phi_c)=\frac{15}{16}>\frac{12}{13},[/tex3] logo nunca haverá reflexão total na primeira refração.

Nesses problemas, você geralmente vai considerar que, se uma determinada refração ocorre, a transferência de luz é de 100%. Isso não é muito correto, mas, se não fizermos essa simplificação, os problemas podem ficar ficam muito complicados.

Na primeira refração: [tex3]1,5\sin(\varphi)=1,6\sin(\phi) \Longrightarrow \sin(\varphi)=\frac{64}{65}\sin(\theta).[/tex3]

Lei dos senos: [tex3]\frac{\sin(180\degree - \varphi)}{7,5}=\frac{\sin(\alpha)}{6,5} \Longrightarrow \sin(\alpha)=\frac{64}{75}\sin(\theta).[/tex3]

O seno do ângulo limite para a segunda refração é [tex3]\sin(\alpha_c)=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}.[/tex3]

Vamos achar os valores de [tex3]\theta[/tex3] que correspondem a [tex3]\alpha>\alpha_c \Longrightarrow \sin(\alpha)>\sin(\alpha_c)[/tex3]:

[tex3]\frac{64}{75}\sin(\theta)>\frac{2}{3} \Longrightarrow \sin(\theta)>\frac{25}{32}.[/tex3]

Para [tex3]0 \leq \theta \leq \pi[/tex3], as soluções disso são [tex3]\theta_1<\theta<\theta_2[/tex3], com [tex3]\theta_1=\arcsin(25/32)[/tex3] e [tex3]\theta_2=\pi - \arcsin(25/32).[/tex3]

Ou seja, nós achamos o intervalo de [tex3]\theta[/tex3] que corresponde à reflexão total na última refração, ou seja, à luz não saindo do sistema. Vamos achar a que fração da potência luminosa esse intervalo corresponde (note que, para uma fonte isotrópica, a energia é uniformemente distribuída ao longo da superfície de cada frente de onda esférica):

O diferencial de área (anel em posição polar [tex3]\theta[/tex3])em uma superfície esférica de raio [tex3]R[/tex3] é [tex3]dA=2\pi R^2 \sin(\theta) d\theta \Longrightarrow A=2\pi R^2\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin(\theta) d\theta=2\pi R^2\left(\cos(\theta_1)-\cos(\theta_2)\right).[/tex3]

Temos [tex3]\cos(\theta_1)=\frac{\sqrt{399}}{32} \approx \frac{\sqrt{400}}{32}=\frac{5}{8},[/tex3] e [tex3]\cos(\theta_2) \approx -\frac{5}{8}.[/tex3]

Assim: [tex3]A=\frac{5\pi R^2}{2}[/tex3], e a fração da área da esfera é [tex3]\frac{A}{4\pi R^2}=\frac{5}{8}.[/tex3]

Essa é a fração que corresponde à energia que não sai do sistema. A fração que sai é [tex3]1-\frac{5}{8}=\boxed{37,5\%}[/tex3]

[padeli675]

Oii, muito obrigada!

"O diferencial de área (anel em posição polar θ)em uma superfície esférica de raio R
é dA=2πR2sin(θ)dθ⟹A=2πR2∫θ2θ1sin(θ)dθ=2πR2(cos(θ1)−cos(θ2))."

vc poderia me explicar melhor essa parte aqui?

[παθμ]

vc poderia me explicar melhor essa parte aqui?

padeli675, esse é o anel diferencial cuja área é [tex3]2\pi R^2 \sin(\theta)d\theta[/tex3]:

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Planificando, isso fica uma tira retangular (já que é infinitesimal) de comprimento [tex3]2\pi R\sin(\theta)[/tex3] e altura [tex3]R d\theta[/tex3]. É um diferencial muito famoso e usual.

O meu objetivo com a integral é achar a que fração da área de uma frente de onda corresponde o intervalo [tex3]\theta_1<\theta<\theta_2[/tex3]. Como a energia é uniformemente distribuída ao longo da área de cada frente de onda, essa fração de área é a fração de energia correspondente ao mesmo intervalo de [tex3]\theta[/tex3].

[padeli675]

Show, muito obrigada