ITA 1961 ⇒ Questão 06 - ITA-1961 Tópico resolvido

[JigsawMOD]

6 – Determinar [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] de modo que
[tex3]6x^4-ax^3+62x^2-35x+b-a=0[/tex3]
seja recíproca de 1ª classe e, em seguida, achar as raízes da equação, para esses valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3].

Resposta

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S/ GAB

[LostWalker]

Definindo os Coeficientes

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Numa equação recíproca de primeira espécie, podemos vulgarmente falar que os termos equidistantes, quando organizados em ordem crescente das potências da variável, são iguais. Nisso, temos a igualdade:

[tex3]{\color{JungleGreen}6}x^4{\color{Purple}\,-\,a}x^3+62x^2{\color{Purple}\,-35}x+{\color{JungleGreen}b-a}=0[/tex3]

[tex3]\cases{-a=-35\\a-b=6}[/tex3]

[tex3]\boxed{\cases{a=35\\b=29}\,}[/tex3]




Resolvendo a Equação

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Seguindo o estilo clássico desse tipo de resolução, dividimos tudo, nesse caso, por [tex3]x^2[/tex3]:

[tex3]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0[/tex3]

[tex3]6x^2-35x+62-35\cdot\frac1x+6\cdot\frac1{x^2}=0[/tex3]

[tex3]6\(x^2+\frac1{x^2}\)-35\(x+\frac1x\)+62=0[/tex3]


Tomando [tex3]y = \(x+\frac1x\)[/tex3]

[tex3]\(x+\frac1x\)^2=y^2[/tex3]

[tex3]x^2+\frac1{x^2}=y^2-2[/tex3]


Substituindo:

[tex3]6{\color{PineGreen}\(x^2+\frac1{x^2}\)}-35{\color{Purple}\(x+\frac1x\)}+62=0[/tex3]

[tex3]6{\color{PineGreen}\(y^2-2\)}-35{\color{Purple}y}+62=0[/tex3]

[tex3]6y^2-35y+62-6\cdot2=0[/tex3]

[tex3]6y^2-35y+50=0[/tex3]


Ainda podemos fazer um modificação de variáveis:

[tex3]6y^2-35y+50=0~~\rightarrow~~z^2-35z+6\cdot50=0[/tex3]


Assim:

[tex3]z^2-35z+300=0[/tex3]


O qual é mais fácil de enxergar que:

[tex3]\cases{z_1+z_2 = 35\\z_1\cdot z_2=300}[/tex3]

[tex3]\cases{z_1=15\\z_2=20}[/tex3]


Converteno pra [tex3]y[/tex3]:

[tex3]\cases{y_1=z_1:6=\frac52\\y_2=z_2:6=\frac{10}3}[/tex3]


E assim, voltando esses valores para achar [tex3]x[/tex3]:

[tex3]\boxed{x+\frac1x}=y_1=\frac52=\boxed{2+\frac12}~~\rightarrow\,x=\left\{2,\frac12\right\}[/tex3]

[tex3]\boxed{x+\frac1x}=y_2=\frac{10}3=\boxed{3+\frac13}~~\rightarrow\,x=\left\{3,\frac13\right\}[/tex3]


Com isso definimos que:

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\left\{\frac13,\frac12,2,3\right\}}[/tex3]