Pré-Vestibular ⇒ (UnB/PAS - 1999) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considerando que as bolas de tênis sejam esféricas, de [tex3]8\text{ cm}[/tex3] de diâmetro, julgue os itens que se seguem, acerca de recipientes para condicionar essas bolas sem deformá-las.

(1) Se a parte interna do recipiente tiver a forma de um cilindro circular reto, com diâmetro igual ao da bola e altura igual a [tex3]24\text{ cm}[/tex3], então o volume da parte desse cilindro não-ocupada pelas bolas é maior que o volume de uma das bolas.
(2) Se a parte interna do recipiente tiver a forma de um cilindro circular reto, de altura igual a [tex3]8\text{ cm}[/tex3] e raio da base igual a [tex3]12\text{ cm}[/tex3], então, nesse recipiente, poderão ser acondicionadas no máximo [tex3]7[/tex3] bolas.
(3) Em qualquer recipiente cuja parte interna tenha a forma de um cilindro circular reto, a quantidade máxima de bolas que poderiam ser acondicionadas é igual à razão [tex3]\frac{volume\ interno\ do\ recipiente}{volume\ da\ bola}[/tex3].

Resposta

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C, C, E.

[emanuel9393MOD]

Olá!

(1) Sendo [tex3]r[/tex3] o raio de uma esfera e [tex3]V_e[/tex3], [tex3]V_c[/tex3], [tex3]V_n[/tex3] os valores de uma esfera, do cilindro e do espaço não ocupado respectivamente, temos:
[tex3]V_e = \frac{4}{3}\pi r^3 \ \ \ , \ \ \ V_c = 24 \pi r ^2 \ \ \ \ \ (cm)[/tex3]
e
[tex3]V_n = V_c-3V_e = 24 \pi r^2 - \frac{4}{3} \pi r^3 = 4\pi r^2(6-r)[/tex3]
Para termos [tex3]V_n > V_e[/tex3] conforme o enunciado, deveremos ter:
[tex3]V_n > V_e \Rightarrow 4\pi r^2(6-r) > \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow r < \frac{9}{2}[/tex3]
Como no caso em questão temos [tex3]r=4[/tex3] (diâmetro é [tex3]8[/tex3]), logo o volume não ocupado é maior que o volume de uma esfera.

(2) Correto. Nesse caso, as esferas estão distribuídas em um plano porque o cilindro tem altura [tex3]h=r[/tex3]. Como o diâmetro é [tex3]24 \ cm[/tex3], então o polígono formado será um hexágono (uma vez que a diagonal terá justamente comprimento [tex3]d = 6r[/tex3]).

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(3) Errado. No caso do item (1), por exemplo, poderíamos fazer:
[tex3]\frac{V_c}{V_e} = \frac{24 \pi r^2}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{18}{r}[/tex3]
Somente no caso de [tex3]r=6[/tex3] essa relação seria válida.

Bons estudos!