ITA 1959 ⇒ (ITA-1959) Parte III Tópico resolvido

[JigsawMOD]

PARTE - III

Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.
1 – Se [tex3]m[/tex3] e [tex3]p[/tex3] são números inteiros positivos tais que o número de combinações de [tex3]m[/tex3] objetos [tex3]p[/tex3] a [tex3]p[/tex3] seja igual ao número de combinações dos [tex3]m[/tex3] objetos [tex3]p-1[/tex3] a [tex3]p-1[/tex3] então, [tex3]m[/tex3] é necessariamente ímpar.
2 –
[tex3]\begin{vmatrix}
1 & a & 2a+d \\
1 & b & 2b+d \\
1 & c & 2c+d \\
\end{vmatrix}[/tex3][tex3]\neq 0[/tex3]
3 – Inscreve-se um cubo [tex3]C[/tex3] em uma esfera [tex3]E[/tex3]. Nesse cubo inscreve-se uma esfera [tex3]E’[/tex3]. Inscreve-se um novo cubo [tex3]C’[/tex3] na esfera [tex3]E’[/tex3]. A área total do cubo [tex3]C’[/tex3] é [tex3]\frac{2}{3\pi }S[/tex3], onde [tex3]S[/tex3] é a área da esfera [tex3]E[/tex3].
4 – Inscreve-se uma esfera em um cone circular reto cujo raio da base é [tex3]a>1[/tex3]. Então, [tex3]lr>h-a[/tex3], onde [tex3]h[/tex3] é a altura do cone, [tex3]l[/tex3] a sua geratriz e [tex3]r[/tex3] é o raio da esfera.
5 – A área lateral do tronco de pirâmide regular é igual ao produto do apótema pela soma dos perímetros das bases.

Resposta

---

1) Resposta: Verdadeira. ([tex3]m=2p-1[/tex3]).
2) Resposta: Falsa.
3) Resposta: Verdadeira. [tex3]a=\frac{2R}{\sqrt{3}}[/tex3]; [tex3]R’=\frac{R}{\sqrt{3}}[/tex3]; [tex3]a’=\frac{2R}{3}[/tex3].
4) Resposta: Verdadeira.
5) Resposta: Falsa.

OBS = Também mantive os cinco itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço. Por questão de didática, seria interessante (para quem souber) justificar as alternativas Falsas também.

[petrasMOD]

Jigsaw,

Item 1) Verdadeira


A sentença é verdadeira. Desenvolvendo os números binomiais:
[tex3]
\binom{m}{p} = \binom{m}{p-1} \implies \frac{m!}{p! \; (m-p)!} = \frac{m!}{(p-1)! \; (m-p+1)!} \implies\\
\frac{(m-p+1)!}{(m-p)!} = \frac{p!}{(p-1)!} \implies \frac{(m-p+1)(m-p)!}{(m-p)!} = \frac{p(p-1)!}{(p-1)!} \implies\\
m-p+1 = p \therefore \boxed{m=2p-1}[/tex3]

Portanto, m é um número ímpar para todo valor de p.
(Solução:ZeRoberto26)


Item 2) Falsa

f2.jpg (23.13 KiB) Exibido 1332 vezes

Item 3) Verdadeira

Existe uma esfera E de superfície S. Como E tem diâmetro D sua superfície é dada por [tex3]S = \pi.D^2[/tex3]. Então vamos guardar que
[tex3]D^2 =\frac{ S}{\pi} (I)[/tex3]

Inscrito em E está o cubo C, logo sua diagonal é D (o mesmo diâmetro de E). O cubo C tem aresta a, então
[tex3]D = a\sqrt3 \implies a = \frac{D\sqrt3}{3}(II)[/tex3]

Inscrito em C temos a esfera E' cujo diâmetro[tex3] D' = a (III)[/tex3].

E finalmente, inscrito em E' temos o cubo C'. Analogamente ao 2º parágrafo, C' tem aresta a' e diagonal D' (diâmetro de E').
Em relação a a', a diagonal D' vale
[tex3]D' = a'.\sqrt3 \\
De(III) \implies a = a'\sqrt3 \implies a' = \frac{a\sqrt3}{3}(IV)[/tex3]

(II) em (IV): [tex3]a' = D(\frac{\sqrt3}{3})(\frac{\sqrt3}{3})\implies a' =\frac{D}{3} [/tex3]

A superfície de C' é dada por
[tex3]SC' = 6.(a')^2 = \frac{6.D^2}{9 }= \frac{2.D^2}{3} (V)[/tex3]

(I) em (V):[tex3]\boxed{SC' = \frac{2.S}{3π}}
[/tex3]portanto afirmativa verdadeira
(Solução: Medeiros)



Item 4) Verdadeira
(Solução:GiovanaMartins)

f2.jpg (29.83 KiB) Exibido 1332 vezes

Item 5) Falsa

Cada face lateral de um tronco de pirâmide regular é um trapézio isósceles congruente às outras. E o apótema é a altura desse trapézio.

A área de uma face lateral é a área do trapézio, i.e.,
S₁ face = (média aritmética das bases)×(apótema)

Extrapolando para as n faces da pirâmide, a somatória da área de todos esses trapézios produz a área lateral da pirâmide, ou seja,

S_lat = (média aritmética dos perímetros das bases)×(apótema)

AFIRMATIVA FALSA pois a média aritmética de dois elementos é sua soma dividido por 2 e a afirmativa esqueceu essa divisão.
(Solução:Medeiros)