Física I ⇒ (Saraeva) Cinemática

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Num elevador, que se move com aceleração a, de uma altura H sobre o chão, um homem deixa cair uma esfera. t segundos depois da queda, a aceleração do elevador muda de sinal, e decorridos 2t segundos torna-se igual a zero. Logo após, a esfera toca o chão. A que altura do chão do elevador a esfera elevar-se-á depois do choque? Considerar o choque absolutamente elástico.

Resposta

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x = H - a(t^2)

[παθμ]

Esse problema é melhor resolvido no referencial do elevador. Considere que inicialmente a aceleração [tex3]a[/tex3] estava para cima. Daí, inicialmente a gravidade aparente no elevador era [tex3]g+a.[/tex3]

Decorrido um tempo [tex3]t,[/tex3] a altura da esfera agora é [tex3]H-\frac{(g+a)t^2}{2},[/tex3] e sua velocidade é [tex3](g+a)t[/tex3] para baixo.

Agora, a aceleração do elevador mudou de sinal. A gravidade aparente agora é [tex3]g-a.[/tex3] Analisando o MUV da esfera a partir de então, sendo [tex3]A[/tex3] sua aceleração:


[tex3]y_0=H-\frac{(g+a)t^2}{2},[/tex3] [tex3]v_0=-(g+a)t,[/tex3] [tex3]A=-(g-a).[/tex3]

Sendo [tex3]T[/tex3] o tempo decorrido a partir da mudança de sinal da aceleração:

[tex3]y(T)=y_0+v_0T+\frac{AT^2}{2},[/tex3] [tex3]v(T)=v_0+AT.[/tex3]

O enunciado diz que [tex3]y(t)=0,[/tex3] daí:

[tex3]H-\frac{(g+a)t^2}{2}-(g+a)t^2+\frac{(a-g)t^2}{2}=0 \Longrightarrow g=\frac{H-at^2}{2t^2}.[/tex3]

Ademais, [tex3]v(t)=-(g+a)t+(-g+a)t=-2gt=-\frac{H-at^2}{t}.[/tex3]

Ou seja, após a colisão a velocidade da bola passa a ser [tex3]v_0=\frac{H-at^2}{t}[/tex3] para cima, além de que a gravidade agora é [tex3]g,[/tex3] já que o elevador não tem mais aceleração. A altura máxima atingida é:

[tex3]h=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{(H-at^2)^2}{t^2} \frac{t^2}{H-at^2}=\boxed{H-at^2}[/tex3]