Pré-Vestibular ⇒ Fundamentos da matemática elementar volume 6, 7 edição . Números Complexos Tópico resolvido

[SBAN]

Fundamentos da matemática elementar Volume 6, 7 edição questão 54

Escreva o número complexo [tex3]\frac{1}{1-i}-\frac{1}{i} [/tex3] na forma [tex3]A+Bi[/tex3] e na forma Trigonométrica.

Por favor resolver com LaTeX e de forma detalhada

Resposta

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[tex3]\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i[/tex3]

Resposta

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[tex3]Cos(ArcTg(3))+Sen(ArcTg(3))i[/tex3]

Estou com dificuldade na parte trigonométrica. cheguei ate aqui


[tex3]\frac{1}{1-i}-\frac{1}{i} [/tex3]

[tex3]\frac{1}{1-i}\cdot \frac{1+i}{1+i}-\frac{1}{i}\cdot \frac{i}{i} [/tex3]

[tex3]\frac{1+i}{2}+i [/tex3]

[tex3]\frac{1+i}{2}+\frac{2i}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{1+3i}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{1}{2}+\frac{3i}{2}}[/tex3]

Forma algébrica Feita. Agora precisamos fazer a trigonométrica

[tex3]\rho=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}[/tex3]

[tex3]\rho=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}[/tex3]

[tex3]\rho=\sqrt{\frac{10}{4}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\rho=\frac{\sqrt{10}}{2}}[/tex3]

Achei o modulo, agora quando vou calcular theta chego num sistema que não sei resolver

[tex3]Cos(\theta)=\frac{A}{\rho}\rightarrow Cos(\theta)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}\Rightarrow Cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow \boxed{Cos(\theta)=\frac{\sqrt{10}}{10}}[/tex3]


[tex3]Sen(\theta)=\frac{B}{\rho}\rightarrow Sen(\theta)=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}\Rightarrow Sen(\theta)=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \boxed{Sen(\theta)=\frac{3\sqrt{10}}{10}}[/tex3]


A partir daqui não sei Resolver. Pois, todos os problemas que fiz anteriormente deram Ângulos de Cosseno e Seno conhecidos

[παθμ]

SBAN,

[tex3]z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i[/tex3]

Se [tex3]\theta[/tex3] é o argumento de [tex3]z,[/tex3] então veja que [tex3]\tan(\theta)=\frac{3/2}{1/2}=3.[/tex3]

Ou seja, [tex3]\theta=\arctan(3).[/tex3]

Você também sabe que [tex3]\rho=\frac{\sqrt{10}}{2}.[/tex3]

Então [tex3]z=\frac{\sqrt{10}}{2}(\cos(\theta)+i\sin(\theta))[/tex3]

[tex3]\boxed{z=\frac{\sqrt{10}}{2}(\cos(\arctan(3))+i\sin(\arctan(3)))}[/tex3]

Era assim que o gabarito queria que você deixasse sua resposta.

[SBAN]

Entendi, então eu poderia resolver o sistema da seguinte maneira

[tex3]{Cos(\theta)=\frac{\sqrt{10}}{10}}[/tex3]

[tex3]Sen(\theta)=\frac{3\sqrt{10}}{10}[/tex3]

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[tex3]\frac{Sen(\theta)}{Cos(\theta)}=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}[/tex3]

[tex3]Tg(\theta)=\frac{3}{1}[/tex3]

[tex3]Tg(\theta)=3[/tex3]

[tex3]\boxed{\theta=ArcTg(3)}[/tex3]

Não sabia que podia deixar Theta em função dos arcos trigonométricos, pensava que só podia deixar em radianos. obrigado por sanar minhas duvidas

Em relação ao gabarito esta sem o [tex3]\rho[/tex3] na resposta trigonométrica oque também me deixou confuso mas vendo sua resolução claramente é erro de digitação do gabarito