Pré-Vestibular ⇒ Fundamentos da Matemática elementar volume 6, Segunda Fórmula de Moivre Tópico resolvido

[SBAN]

Usando a segunda fórmula de Moivre calcule :

[tex3]\sqrt{-7+24i}[/tex3]

Não estou conseguindo fazer essa questão:

Resposta

---

[tex3]3+4i ~ou~ -3-4i[/tex3]

[παθμ]

SBAN,

[tex3]z=-7+24i[/tex3]

[tex3]|z|=\sqrt{7^2+24^2}=25.[/tex3]

[tex3]\cos(\theta)=-\frac{7}{25}, \; \sin(\theta)=\frac{24}{25}.[/tex3]

[tex3]z=25 e^{i\theta}.[/tex3]

Seja [tex3]w=\rho e^{i \phi}[/tex3] uma raíz quadrada de [tex3]z.[/tex3]

Ou seja, [tex3]w^2=z \Longrightarrow \rho^2 e^{2 i \phi}=25 e^{i\theta}.[/tex3]

Pela igualdade de complexos, devemos ter [tex3]\rho^2=25 \Longrightarrow \rho=5,[/tex3] e:

[tex3]2\phi \equiv \theta \pmod{2\pi } \Longrightarrow 2\phi = \theta+2k \pi \Longrightarrow \phi = \frac{\theta}{2}+k\pi,[/tex3] onde k=0 ou 1 (se k>1 já começamos a repetir soluções)

Note que como [tex3]\sin(\theta)>0[/tex3] e [tex3]\cos(\theta)<0,[/tex3] [tex3]\theta[/tex3] é um ângulo do segundo quadrante, então [tex3]\theta/2[/tex3] estará no primeiro quadrante, logo tanto seu seno quanto seu cosseno serão positivos. Prosseguindo para achar as funções trigonométricas de [tex3]\theta/2[/tex3]:

[tex3]\cos(\theta)=2 \cos^2(\theta/2)-1 \Longrightarrow 2\cos^2(\theta/2)=1-\frac{7}{25}=\frac{18}{25} \Longrightarrow \cos^2(\theta/2)=\frac{9}{25} \Longrightarrow \cos(\theta/2)=\frac{3}{5}[/tex3] e [tex3]\sin(\theta/2)=\frac{4}{5}.[/tex3]

Ou seja, a primeira raíz é [tex3]w_1=5\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)=\boxed{3+4i}[/tex3]

A próxima raíz possui o mesmo módulo, [tex3]5,[/tex3] e possui argumento igual ao da raíz acima acrescido de [tex3]\pi,[/tex3] portanto é simplesmente [tex3]-w_1.[/tex3]

[tex3]\boxed{w_2=-3-4i}[/tex3]

[SBAN]

Boa tarde amigo, a verdade é que essa resolução me trouxe mais duvidas do que respostas kkkkk. No livro do fundamentos da matemática elementar esse é o ultimo assunto. A segunda fórmula de Moivre que usamos para achar os valores de uma raiz de Índice N de um complexo

A fórmula é a seguinte [tex3]\sqrt[N]{\rho}\cdot \left(Cos\left( \frac{\theta+2k\pi }{N}\right)+Sen\left( \frac{\theta+2k\pi }{N}\right)\right)[/tex3]

Como a raiz é quadrada o índice é 2 então [tex3]N=2[/tex3]

o [tex3]\rho[/tex3] será [tex3]\sqrt{(-7)^2+ (24)^2}=\boxed{25}[/tex3]

Ou seja [tex3]N=2 ~\rho=25, [/tex3] falta apenas o theta

O problema é que nos deparamos com


[tex3]Cos\left(\theta\right)=\frac{-7}{25}~e ~Sen(\theta)=\frac{24}{25}[/tex3] o que não são angulos conhecidos, o que me deixou confuso porque até agora não tinha aparecido ângulos desconhecidos ( com exceção daquela questão de ontem, porem creio que a gente não pode deixar em arcotg na fórmula de Moivre )

Você resolveu por um método que eu não conheço [tex3]w=\rho^{ei\phi}?? [/tex3] nunca tinha visto esse método antes e ele não tem no livro dos fundamento. teria como me dizer o nome desse método ? queria ir atrás e estuda-lo

[παθμ]

Boa tarde amigo, a verdade é que essa resolução me trouxe mais duvidas do que respostas kkkkk. No livro do fundamentos da matemática elementar esse é o ultimo assunto. A segunda fórmula de Moivre que usamos para achar os valores de uma raiz de Índice N de um complexo

A fórmula é a seguinte [tex3]\sqrt[N]{\rho}\cdot \left(Cos\left( \frac{\theta+2k\pi }{N}\right)+Sen\left( \frac{\theta+2k\pi }{N}\right)\right)[/tex3]

Como a raiz é quadrada o índice é 2 então [tex3]N=2[/tex3]

o [tex3]\rho[/tex3] será [tex3]\sqrt{(-7)^2+ (24)^2}=\boxed{25}[/tex3]

Ou seja [tex3]N=2 ~\rho=25, [/tex3] falta apenas o theta

O problema é que nos deparamos com


[tex3]Cos\left(\theta\right)=\frac{-7}{25}~e ~Sen(\theta)=\frac{24}{25}[/tex3] o que não são angulos conhecidos, o que me deixou confuso porque até agora não tinha aparecido ângulos desconhecidos ( com exceção daquela questão de ontem, porem creio que a gente não pode deixar em arcotg na fórmula de Moivre )

Você resolveu por um método que eu não conheço [tex3]w=\rho^{ei\phi}?? [/tex3] nunca tinha visto esse método antes e ele não tem no livro dos fundamento. teria como me dizer o nome desse método ? queria ir atrás e estuda-lo

SBAN, não tem problema. Você vai chegar na mesma resposta. Na verdade os métodos são praticamente idênticos, você apenas está usando um resultado mais pronto enquanto eu escrevi algumas linhas adicionais para chegar nele.

Conforme você sabe, as duas raízes serão [tex3]w_1=5\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)[/tex3] (k=0)

[tex3]w_2=5\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)+i \sin\left(\frac{\theta}{2}+\pi\right)\right)[/tex3] (k=1)

O que eu fiz foi exatamente isso!!

Na minha resolução, eu te mostrei que [tex3]\cos(\theta/2)=\frac{3}{5}[/tex3] e [tex3]\sin(\theta/2)=\frac{4}{5}[/tex3]

Ou seja, a primeira raíz é [tex3]w_1=3+4i.[/tex3]

Para achar a próxima, só precisamos achar as funções trigonométricas de [tex3]\theta/2+ \pi.[/tex3]

Daí é só você usar que [tex3]\cos(x+\pi)=-\cos(x)[/tex3] e [tex3]\sin(x+\pi)=-\sin(x).[/tex3]

E com isso você obtém que [tex3]w_2=-3-4i.[/tex3]

o que não são angulos conhecidos, o que me deixou confuso porque até agora não tinha aparecido ângulos desconhecidos

Esse problema requer familiariedade com trigonometria. Se você não tiver entendido os passos para chegar nas funções trigonométricas de [tex3]\theta/2,[/tex3] talvez seja falta dessa familiariedade.

Você resolveu por um método que eu não conheço

[tex3]e^{i \theta}= \cos(\theta)+ i \sin(\theta).[/tex3] É só isso.

Essa identidade (fórmula de Euler) pode ser demonstrada com métodos do Cálculo.

Essas três coisas:

[tex3]\cos(\theta)+i \sin(\theta)[/tex3]

[tex3]\cis(\theta)[/tex3]

[tex3]e^{i\theta}[/tex3]

são as mesmas. A razão pela qual eu escrevo [tex3]e^{i\theta}[/tex3] é porque é mais rápido.