Física II ⇒ (FB) Termodinâmica Tópico resolvido

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Dois compressores elevam a pressão adiabaticamente de um gás diatômico. Primeiro funciona um compressor que reduz o volume do gás de Vo até V1. Logo em seguida, o gás comprimido é resfriado até a temperatura inicial, após a qual começa a trabalhar o segundo compressor que reduz o volume de gás até V2. Determine o volume V1 para que o trabalho total das duas compressões seja mínimo.

Resposta

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[tex3]\sqrt{V_oV_2}[/tex3]

[παθμ]

A temperatura inicial é [tex3]T_0=\frac{P_0V_0}{nR}.[/tex3]

O primeiro processo é [tex3](P_0, V_0) \rightarrow (P_1,V_1).[/tex3]

[tex3]P_0V_0^{\gamma}=P_1 V_1^{\gamma} \Longrightarrow P_1=\frac{P_0V_0^{\gamma}}{V_1^{\gamma}}.[/tex3]

Sabe-se que o trabalho realizado sobre um gás ideal em um processo adiabático é dado por [tex3]\Delta W=\frac{1}{\gamma-1}\left(P_fV_f-P_iV_i\right).[/tex3]

Então, no primeiro processo: [tex3]\Delta W_1=\frac{1}{\gamma-1}\left(\frac{P_0V_0^{\gamma}}{V_1^{\gamma}}V_1-P_0V_0\right)=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}\left(\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma-1}-1\right).[/tex3]

Após isso, o gás é resfriado a volume constante até a temperatura [tex3]T_0.[/tex3] Ou seja, se sua pressão agora é [tex3]P_1',[/tex3] temos:

[tex3]P_1'V_1=nRT_0=P_0V_0 \Longrightarrow P_1'= \frac{P_0V_0}{V_1}.[/tex3]

Por fim, o gás sofre a transformação adiabática [tex3](P_1',V_1) \rightarrow(P_2, V_2).[/tex3]

[tex3]P_1'V_1^{\gamma}=P_2V_2^{\gamma} \Longrightarrow P_2=\frac{P_0V_0V_1 ^{\gamma-1}}{V_2^{\gamma}}.[/tex3]

[tex3]\Delta W_2=\frac{1}{\gamma-1}(P_2V_2-P_1'V_1)=\frac{P_0V_0}{\gamma-1}\left(\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}-1\right).[/tex3]

Então o trabalho total realizado sobre o gás é [tex3]\Delta W=\frac{P_0 V_0}{\gamma-1}\left(\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma-1}+\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}-2\right).[/tex3]

Seja [tex3]a=\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma-1}[/tex3] e [tex3]b=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.[/tex3] Para minimizar o trabalho, queremos minimizar [tex3]a+b.[/tex3]

Como ambos são positivos, temos, pela desigualdade das médias: [tex3]\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}.[/tex3]

Mas note que [tex3]ab=\left(\frac{V_0}{V_2}\right)^{\gamma-1},[/tex3] ou seja, independe de [tex3]V_1.[/tex3] Ou seja, para minimizar [tex3]a+b[/tex3] variando-se [tex3]V_1,[/tex3] o melhor que pode ser feito é fazer com que [tex3]a+b=2\sqrt{ab},[/tex3] com igualdade se e somente se [tex3]a=b,[/tex3] então:

[tex3]\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \Longrightarrow \frac{V_0}{V_1}=\frac{V_1}{V_2} \Longrightarrow \boxed{V_1=\sqrt{V_0V_2}}[/tex3]