Pré-Vestibular ⇒ UF-SE Lei dos senos e lei dos cossenos Tópico resolvido

[florestinha89]

No quadrilátero ABCD da figura abaixo, tem-se que:

[tex3]\cdot [/tex3] ângulo BAD é reto;
[tex3]\cdot [/tex3] BD = 3 cm e CD = 6 cm;
[tex3]\cdot [/tex3] BDC = 60°;
[tex3]\cdot [/tex3] a tangente de ADB é o dobro da tangente de ABD.

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Utilize as informações dadas para analisar as afirmações seguintes:

a) AB = [tex3]\sqrt{6}[/tex3] cm;
b) O seno de um dos ângulos agudos no triângulo ABD é igual a [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3];
c) BC = 3 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm;
d) O perímetro do quadrilátero ABCD é igual a (6 [tex3]\sqrt{6}[/tex3] + 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]) cm;
e) AC = [tex3]\sqrt{33 + \sqrt{6}}[/tex3] cm

Gabarito:

Resposta

---

a)V; b)V; c)V; d)F; e)V

Minha dúvida é apenas no item e apesar de ter digitado a questão toda. Acho que tenho que encontrar AC pela lei dos cossenos mas eu não sei o ângulo ADC. Encontrei uma resolução em outro site que utiliza o ângulo ADB mas não entendi, isso é correto? Porque no caso tô procurando o lado do triângulo ADC.

[Auto Excluído (ID:24486)]

Tangente de ADB:

[tex3]tg(ADB)=\frac{P}{Q}[/tex3]


Tangente de ABD:

[tex3]tg(ABD)=\frac{Q}{P}[/tex3]


Como a tangente de ADB é o dobro de ABD,então.

[tex3]\frac{P}{Q}=\frac{2Q}{P}[/tex3]

[tex3]P=Q\sqrt{2}[/tex3]


Calculando novamente a tangente de ADB.

[tex3]tg(ADB)=\frac{Q\sqrt{2}}{Q}\rightarrow \boxed{\boxed{tg(ADB)=\sqrt{2}}}[/tex3]

Então o ângulo ADB vale 45 graus.

O resto deixo com você, mas se não conseguir, avise.

[florestinha89]

Tangente de ADB:

[tex3]tg(ADB)=\frac{P}{Q}[/tex3]


Tangente de ABD:

[tex3]tg(ABD)=\frac{Q}{P}[/tex3]


Como a tangente de ADB é o dobro de ABD,então.

[tex3]\frac{P}{Q}=\frac{2Q}{P}[/tex3]

[tex3]P=Q\sqrt{2}[/tex3]


Calculando novamente a tangente de ADB.

[tex3]tg(ADB)=\frac{Q\sqrt{2}}{Q}\rightarrow \boxed{\boxed{tg(ADB)=\sqrt{2}}}[/tex3]

Então o ângulo ADB vale 45 graus.

O resto deixo com você, mas se não conseguir, avise.

Tangente de ADB = [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e você concluiu que ADB = vale 45°??? Mas a tangente de 45 não é 1?

[florestinha89]

No quadrilátero ABCD da figura abaixo, tem-se que:

[tex3]\cdot [/tex3] ângulo BAD é reto;
[tex3]\cdot [/tex3] BD = 3 cm e CD = 6 cm;
[tex3]\cdot [/tex3] BDC = 60°;
[tex3]\cdot [/tex3] a tangente de ADB é o dobro da tangente de ABD.

questaoiezzi.png

Utilize as informações dadas para analisar as afirmações seguintes:

a) AB = [tex3]\sqrt{6}[/tex3] cm;
b) O seno de um dos ângulos agudos no triângulo ABD é igual a [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3];
c) BC = 3 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm;
d) O perímetro do quadrilátero ABCD é igual a (6 [tex3]\sqrt{6}[/tex3] + 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]) cm;
e) AC = [tex3]\sqrt{33 + \sqrt{6}}[/tex3] cm

Gabarito:

Resposta

---

a)V; b)V; c)V; d)F; e)V

Minha dúvida é apenas no item e apesar de ter digitado a questão toda. Acho que tenho que encontrar AC pela lei dos cossenos mas eu não sei o ângulo ADC. Encontrei uma resolução em outro site que utiliza o ângulo ADB mas não entendi, isso é correto? Porque no caso tô procurando o lado do triângulo ADC.

Eu resolvi usando lei dos cossenos e o cosseno da soma dos arcos:
([tex3]AC^{2}[/tex3]) = [tex3](\sqrt{3})^{2} + 6^{2}[/tex3] - 2([tex3](\sqrt{3)}[/tex3]*6* cos (ADB + 60°)

cos (ADB + 60°) = cos ADB*cos 60° - sen ADB*sen60°
cos (ADB = 60°) = [tex3]\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)[/tex3]*[tex3]\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)[/tex3]*[tex3]\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]

Não sei onde estou errando porque chego em AC = [tex3]\sqrt{33+6\sqrt{6}}[/tex3] e não em AC = [tex3]\sqrt{33+\sqrt{6}}[/tex3] que seria a resposta correta. Será que o gabarito está errado? Pelo amor de Deus já fiz e refiz várias vezes

[Gu1me]

Olá faz muito tempo desde a pergunta mas mesmo assim vou tentar responder:
Para resolver basta saber que o ângulo CBD é reto e o ângulo ABD é igual a 90 - ADB e o ângulo ABC é igual a soma do ângulo CBD e o ângulo ABD, ou seja:
90 + 90 - ABD = ABC
180 - ADB = ABC
Daí usa a lei dos cossenos no ângulo ABC sabendo que o cos ABC = - Cos ADB
E o cosseno de ADB é fácil de encontrar.

Acho q o gabarito deve estar errado.
espero ter ajudado não tenho muita prática para escrever aqui então não fiz a resolução inteira mas descobrir os lados do quadrilátero garanto que não é problema, caso tenha ficado alguma dúvida ou encontre algum erro na minha solução é só chamar.

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia indicar qual seria a melhor resolução dentre as apresentadas?