Ensino Superior ⇒ Desigualdade de média aritmética-geométrica com máx e mín condicionados Tópico resolvido

[murilo0675]

Demonstrar a desigualdade [tex3]\frac{(x+y+z)}{3}\ge{(xyz)}^{1/3}[/tex3] se [tex3]x\ge0,y\ge0,z\ge0[/tex3].

Indicação. Procurar o máximo da função [tex3]u=xyz [/tex3] com a condição de que [tex3]x+y+z=s[/tex3].

[FelipeMartinMOD]

[tex3]f = xyz - \lambda (x+y+z-s)[/tex3]
[tex3]\nabla (xyz - \lambda(x+y+z-s)) = 0[/tex3]
[tex3]\frac{\partial f}{\partial x} = yz - \lambda = 0,\frac{\partial f}{\partial y} = xz - \lambda = 0,\frac{\partial f}{\partial z} = yx - \lambda = 0 [/tex3]
[tex3]xy = xz = yz[/tex3] cuja solução ou é [tex3]x=y=z[/tex3] ou é ter duas variáveis iguais a zero e o outro um qualquer.

Se duas variáveis forem zero, por exemplo, [tex3]x=y=0[/tex3]:

[tex3]0 = (xyz)^{\frac13} \leq \frac z3= \frac{x+y+z}3 [/tex3]

Se as três forem iguais:

[tex3]xyz = x^3 [/tex3]
[tex3]3x=s[/tex3]
[tex3]xyz = \frac{s^3}{27}[/tex3]

agora vamos nos perguntar se esse ponto crítico é de máximo ou de mínimo. Ou fazemos o hessiano, ou fazemos um teste:

Dada uma soma [tex3]x+y+z=6[/tex3], podemos fazer [tex3]x=y=z=2[/tex3] ou [tex3]x=4,y=z=1[/tex3]:
[tex3]4 \cdot 1 \cdot 1 < 8 = 2^3 = (\frac{6}3)^3[/tex3]

logo, devemos ter sempre:

[tex3]xyz \leq \frac{s^3}{27} \iff \sqrt[3]{xyz} \leq \frac{x+y+z}3[/tex3]

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia indicar qual seria o melhor Tópico para mover esse tipo de postagem?