IME / ITA ⇒ (EPCAR - 1999) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considerando-se os arcos da forma [tex3]x=(-1)^k.k\pi+\frac{\pi}{6}[/tex3], sendo [tex3]k[/tex3] inteiro, assinale a afirmativa verdadeira.

a) Tangente e cotangente são positivas para todo [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3].
b) Se [tex3]k[/tex3] é par, [tex3]cosx.senx[/tex3] é sempre negativo.
c) Se [tex3]k[/tex3] é ímpar, [tex3]tgx.secx[/tex3] é sempre positivo.
d) Seno e cosseno são sempre positivos para todo [tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3].

[John]

Seja [tex3]x = (-1)^{k}k\pi + \frac{\pi}{6}[/tex3], com [tex3]k[/tex3] inteiro.

(A) Verdadeira

Note que [tex3]tag(x) = tag((-1)^{k}k\pi + \frac{\pi}{6}) = \frac{tag((-1)^{k}k\pi) + tag(\frac{\pi}{6})}{1 - tag((-1)^{k}k\pi)tag(\frac{\pi}{6})}[/tex3].

Como o seno é uma função ímpar, temos que [tex3]sen((-1)^{k}k\pi) = (-1)^{k}sen(k\pi)[/tex3]. E como o cosseno é uma função par, segue que [tex3]cos((-1)^{k}k\pi) = cos(k\pi)[/tex3]. E note ainda que [tex3]sen(k\pi) = 0[/tex3] para qualquer inteiro [tex3]k[/tex3]. Assim,

[tex3]tag((-1)^{k}k\pi) = \frac{sen((-1)^{k}k\pi)}{cos((-1)^{k}k\pi)} = \frac{(-1)^{k}sen(k\pi)}{cos(k\pi)} = \frac{(-1)^{k}0}{cos(k\pi)} = 0[/tex3].

Portanto,

[tex3]tag(x) = \frac{tag((-1)^{k}k\pi) + tag(\frac{\pi}{6})}{1 - tag((-1)^{k}k\pi)tag(\frac{\pi}{6})} = \frac{tag(\frac{\pi}{6})}{1 - 0} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3].

Por outro lado, [tex3]cotag(x) = \frac{1}{tag(x)} = \sqrt{3}[/tex3].

Portanto, a tangente e a cotangente de [tex3]x[/tex3] são positivas para qualquer inteiro [tex3]k[/tex3].

B) Falsa.

Seja [tex3]k = 2[/tex3]. Então [tex3]x = \frac{\pi}{6} + 2\pi[/tex3]. Assim, [tex3]sen(\frac{\pi}{6} + 2\pi) = sen(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]cos(\frac{\pi}{6} + 2\pi) = cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]. Logo, o produto é positivo!

C) Falsa.

Seja [tex3]k = 1[/tex3]. Então, [tex3]x = -\pi + \frac{\pi}{6}[/tex3]. Daí, [tex3]cos(-\pi + \frac{\pi}{6}) = cos(-\pi)cos(\frac{\pi}{6}) - sen(-\pi)sen(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]. Então, [tex3]sec(-\pi + \frac{\pi}{6}) = - \frac{2}{\sqrt{3}}[/tex3].

Pelo item a), temos que [tex3]tag(-\pi + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]. Portanto, [tex3]tag(x)sec(x) = \frac{-2}{3}[/tex3], onde [tex3]x = -\pi + \frac{\pi}{6}[/tex3].

D) Falsa, veja item c).