Concursos Públicos ⇒ Geometria Espacial - Prisma Tópico resolvido

[Fibonacci13]

Considere um sólido que possui a forma de um prisma reto de altura h e base hexagonal regular com aresta medindo 𝓁. Sabendo que a área da superfície (área total) deve ser igual a [tex3]12\sqrt{3}[/tex3], assinale a alternativa que apresenta os valores de 𝓁 e h para que o volume do sólido seja máximo.

A) [tex3] l = 3\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]h=\frac{3\sqrt{5}}{2}[/tex3]

B) [tex3]l=3\sqrt{2}[/tex3] e [tex3]h = 3[/tex3]

C) [tex3]l=2\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]h=\frac{3\sqrt{6}}{2}[/tex3]

D)[tex3]l=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3] e [tex3]h = 2[/tex3]

E) [tex3]l=\sqrt{6}[/tex3] e [tex3]h=4\sqrt{3}[/tex3]

Resposta

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S/GABARITO

[παθμ]

Fibonacci13,

A área lateral é [tex3]6lh.[/tex3]

Um hexágono de lado [tex3]l[/tex3] é composto de 6 triângulos equiláteros de lado [tex3]l,[/tex3] então a área da base é [tex3]6 \cdot \frac{\sqrt{3}l^2}{4}=\frac{3\sqrt{3}l^2}{2}.[/tex3]

[tex3]6lh+3\sqrt{3}l^2=12\sqrt{3}.[/tex3] (1)

O volume do sólido é [tex3]V=\frac{3\sqrt{3}hl^2}{2} \Longrightarrow h=\frac{2\sqrt{3}V}{9l^2}.[/tex3]

Inserindo isso na equação (1), obtemos [tex3]4V=36l-9l^3.[/tex3]

Para encontrar o [tex3]l[/tex3] que maximiza isso, precisamos fazer [tex3]dV/dl=0.[/tex3]

[tex3]4\frac{dV}{dl}=36-27l^2=0 \Longrightarrow \boxed{l=\frac{2\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

E inserindo isso na equação (1), obtemos [tex3]\boxed{h=2}[/tex3]

Alternativa D