IME / ITA ⇒ (ESPCEX - 1999) Função Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Dada a função [tex3]f(x)=\frac{1-sen^2x}{1+senx}[/tex3] e o intervalo [tex3]I=[0,\text{ 2}\pi][/tex3], pode-se afirmar que

(A) [tex3]f[/tex3] é definida para todo [tex3]x \in I[/tex3] e a imagem de [tex3]f[/tex3] e [tex3]I[/tex3] é [tex3][0,\text{ 2}][/tex3].
(B) [tex3]f[/tex3] é definida para todo [tex3]x \in I[/tex3]|[tex3]x \neq \frac{3\pi}{2}[/tex3] e a imagem de [tex3]f[/tex3] em [tex3]I[/tex3] é [tex3][0,\text{ 2[}[/tex3].
(C) [tex3]f[/tex3] não é definida para [tex3]x=-1[/tex3] e a imagem de [tex3]f[/tex3] em [tex3]I[/tex3] é [tex3]]-1,\text{ 1[}[/tex3].
(D) [tex3]f[/tex3] não é definida para [tex3]x=\frac{\pi}{2}[/tex3] e a imagem de [tex3]f[/tex3] em [tex3]I[/tex3] é [tex3][0,\text{ 2}[[/tex3].
(E) [tex3]f[/tex3] não é definida para [tex3]x=\frac{3\pi}{2}[/tex3] e a imagem de [tex3]f[/tex3] em [tex3]I[/tex3] é [tex3][0,\text{ 1}[[/tex3].

[John]

O único ponto em [tex3]I = [0, 2\pi][/tex3] para o qual [tex3]1 + sen(x) = 0[/tex3] é o ponto [tex3]x = \frac{3\pi}{2}[/tex3]. Portanto, [tex3]f[/tex3] está definida em [tex3][0, \frac{3\pi}{2}[ \cup ]\frac{3\pi}{2}, 2\pi][/tex3].

Agora note que para [tex3]x \in [0, 2\pi][/tex3] e [tex3]x \neq \frac{3\pi}{2}[/tex3], temos

[tex3]f(x) = \frac{1 - sen^2(x)}{1 + sen(x)} = \frac{(1 - sen x)(1 + senx)}{1 + sen x} = 1 - senx[/tex3].

Para [tex3]x \in [0, \frac{3\pi}{2}[ \cup ]\frac{3\pi}{2}, 2\pi][/tex3], temos:

[tex3]\frac{}{}-1 < sen(x) \leq 1[/tex3]
[tex3]\frac{}{}-1 \leq -sen(x) < 1[/tex3]
[tex3]0 \leq 1 - sen(x) < 2[/tex3]
[tex3]0 \leq f(x) < 2[/tex3].

Alternativa B.