Olimpíadas ⇒ Pares ordenados que são soluções da equação (acho que seria teoria dos números) Tópico resolvido

[Pdalindão]

A quantidade de pares ordenados (x,y), que são solução da equação [tex3]\frac{1}{x}[/tex3]+[tex3]\frac{1}{y}[/tex3]=[tex3]\frac{1}{pq}[/tex3], onde p e q são números primos, é:

Resposta

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10

[Kakashi]

Não seriam [tex3]9[/tex3] soluções?

A equação é equivalente a

[tex3]xy-pqx-pqy=0\Rightarrow [/tex3]

[tex3](x-pq)(y-pq)=(pq)^2[/tex3]

Dessa forma os possíveis pares [tex3](x-pq,~y-pq)[/tex3] são [tex3](p^2q^2,~1),~(p^2q, q),~ (pq^2,~p),~(pq,~pq)[/tex3] e suas permutações.

Portanto, os pares que solucionam a equação são

[tex3]x=p^2q^2+pq[/tex3] e [tex3]y=pq+1[/tex3]

[tex3]x=p^2q+pq[/tex3] e [tex3]y=pq+q[/tex3]

[tex3]x=pq^2+pq[/tex3] e [tex3]y=pq+p[/tex3]

[tex3]x=p^2+pq[/tex3] e [tex3]y=pq+q^2[/tex3]

[tex3]x=q^2+pq[/tex3] e [tex3]y=pq+p^2[/tex3]

[tex3]x=2pq[/tex3] e [tex3]y=2pq[/tex3]

E as permutações quando invertendo o valor de [tex3]x[/tex3] por [tex3]y[/tex3]. Totalizando [tex3]9[/tex3] soluções.

Obs: No último caso [tex3]x=y[/tex3] por isso a permutação dos elementos não deve ser contada.