Física III ⇒ (SOIF 2016) Eletromagnetismo Tópico resolvido

[παθμ]

Uma barra condutora de cobre desliza sem atrito apoiada em dois trilhos condutores paralelos no eixo Y, no plano XY, na presença de um campo magnético constante [tex3]\vec{B}=B_0 \; \hat{z}.[/tex3] Considerando que no instante [tex3]t=0[/tex3] a barra está se movendo na direção +y com velocidade [tex3]v_0[/tex3] pergunta se:

a) Qual é a velocidade subsequente, considerando a resistividade [tex3]\rho_R[/tex3] e densidade de massa [tex3]\rho_m[/tex3] da barra.

b) Considerando que para o cobre [tex3]\rho_R=1,7 \cdot 10^{-8} \; \text{Ω.m}[/tex3] e [tex3]\rho_m=8,9 \; \text{g/cm}^3,[/tex3] e que [tex3]B_0=0,01 \; \text{T},[/tex3] estime o tempo que a barra demora até parar.

c) Mostre que a variação temporal de energia cinética por unidade de volume é igual ao aquecimento ôhmico por unidade de volume da barra.

[παθμ]

Solução:

a) A ddp na barra é [tex3]\epsilon = B_0 v l,[/tex3] onde [tex3]l[/tex3] é seu comprimento. A corrente é [tex3]I=\frac{B_0 v l}{R},[/tex3] e a força na barra é [tex3]F=B_0 Il =\frac{B_0^2 L^2}{R}v,[/tex3] que é oposta à velocidade independentemente do sentido do campo magnético.

Segunda lei de Newton: [tex3]m \frac{dv}{dt}=-\frac{B_0^2 l^2}{R}v.[/tex3]

Como [tex3]R=\frac{\rho_R l}{A}[/tex3] e [tex3]m=\rho _m Al:[/tex3]

[tex3]\rho_m \frac{dv}{dt}=-\frac{B_0^2}{\rho_R}v \Longrightarrow \int_{v_0}^{v(t)}\frac{dv}{v}=-\frac{B_0^2}{\rho_m \rho_R} \int_{0}^{t}dt \Longrightarrow \boxed{v(t)=v_0\exp\left(-\frac{B_0^2 t}{\rho_m \rho_R}\right)}[/tex3]

b) Temos [tex3]v=v_0e^{-t/\tau},[/tex3] onde [tex3]\tau=\frac{\rho_m \rho_R}{B_0^2} \approx 1,5 \; \text{s}.[/tex3]

Considerando que o movimento da barra se torna inperceptível para [tex3]v \approx \frac{v_0}{10},[/tex3] podemos estimar [tex3]t \approx \tau \ln(10)
\approx \boxed{3,5 \; \text{s}}[/tex3]

c) [tex3]E=\frac{mv^2}{2} \Longrightarrow \frac{dE}{dt}=mv\frac{dv}{dt}=\rho_m l Av \frac{B_0^2}{\rho_m \rho_R}v \Longrightarrow \frac{1}{V} \frac{dE}{dt}=\frac{B_0^2 v^2}{\rho_R},[/tex3] onde V é o volume da barra e dv/dt foi inserido em módulo.

Ademais, [tex3]\frac{dQ}{dt}=RI^2=\frac{\rho_R l}{A} \frac{B_0^2 v^2 l^2}{R^2}=B_0^2 v^2 l \frac{A}{\rho_R} \Longrightarrow \frac{1}{V} \frac{dQ}{dt}=\frac{B_0^2 v^2}{\rho_R}=\frac{1}{V} \frac{dE}{dt},[/tex3] como queríamos mostrar.