Física I ⇒ (SOIF 2016) Dinâmica Tópico resolvido

[παθμ]

Um corpo de massa [tex3]m[/tex3] é preso a uma corda na superfície de um cilindro de raio [tex3]R[/tex3] no plano sem atrito. Inicialmente a corda está enrolada no cilindro com um quarto de volta e fixo na superfície do cilindro no ponto O visto na figura abaixo. Em um certo tempo [tex3]t_0[/tex3] um impulso [tex3]I_0[/tex3] é aplicada na massa [tex3]m[/tex3] na direção radial do cilindro, iniciando o processo de desenrolamento da massa [tex3]m[/tex3] do cilindro. Considerando que a corda tem peso desprezível e não extensível, e que não há nenhuma força externa atuando no conjunto, determine:

a) A trajetória da massa [tex3]m[/tex3] após o impulso [tex3]I_0[/tex3] (ou desenho esquemática)

b) A variação do comprimento da corda [tex3]L[/tex3] em relação à superfície do cilindro.

c) O momento angular da massa [tex3]m[/tex3] em relação ao eixo do cilindro.

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[παθμ]

Solução:

a) Como não há dissipação de energia no sistema, tampouco energia potencial, a massa permanece com energia cinética constante e velocidade constante [tex3]v=\frac{I_0}{m}.[/tex3] Um esboço da trajetória da massa à medida que a corda se desenrola:

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b) Como os pontos da corda que estão em contato com o cilindro estão parados, a velocidade da partícula deve ser perpendicular à parte esticada da corda, pela conservação do comprimento. Além disso, sendo [tex3]\theta[/tex3] o ângulo de desenrolamento da corda, o ângulo entre a velocidade e a vertical também é [tex3]\theta:[/tex3]

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Desse modo, pelo movimento circular instantâneo da massa em torno do último ponto da corda em contato com o cilindro, temos [tex3]v= s \frac{d \theta}{dt},[/tex3] sendo [tex3]s=R \theta[/tex3] o comprimento da parte esticada.

[tex3]\int_{0}^{\theta} \theta \; d\theta = \frac{v}{R} \int_{0}^{t} dt \Longrightarrow \theta(t)=\sqrt{\frac{2vt}{R}} \Longrightarrow \boxed{s(t)=\sqrt{\frac{2RI_0 t}{m}}}[/tex3]

c) A velocidade da partícula é [tex3]\vec{v}=v \sin(\theta) \hat{x}+v \cos(\theta) \hat{y},[/tex3] e sua posição é [tex3]x=R \sin(\theta) - s\cos(\theta), \; \; y=R \cos(\theta)+ s \sin(\theta).[/tex3]

Momento angular: [tex3]\vec{L}=m \vec{r} \times \vec{v}=mv\left((R \sin(\theta)-s \cos(\theta))\hat{x}+(R \cos(\theta)+ s \sin(\theta))\hat{y}\right) \times (\sin(\theta)\hat{x}+\cos(\theta)\hat{y})[/tex3]

Usando [tex3]\hat{x} \times \hat{y}= \hat{z}:[/tex3] (onde o eixo "z" aponta para fora da página)

[tex3]\vec{L}=-mv\left(R \sin(\theta) \cos(\theta)+s \sin^2(\theta)-R \sin(\theta)\cos(\theta)+s \cos^2(\theta)\right) \hat{z}=-I_0s \; \hat{z}.[/tex3]

[tex3]\boxed{\vec{L}(t)=-\sqrt{\frac{2R I_0^3 t}{m}}\hat{z}}[/tex3]