Ensino Médio ⇒ Equação diofantina linear Tópico resolvido

[Babi123]

Resolver a equação diofantina [tex3]90x+28y=22[/tex3]

Solução:
Como [tex3](90,28)=2[/tex3] e [tex3]2 \ | \ 22[/tex3] , então a equação diofantina tem solução.
Dividindo ambos os membros por [tex3]2[/tex3]:
[tex3]45x+14y=11[/tex3]
O algoritmo de Euclides nos fornece:

IMG-20240305-WA0067.jpg (14.79 KiB) Exibido 494 vezes

[tex3]\begin{cases}45=3\cdot14+3\implies45-3\cdot14=3 \ \ (i)\\
14=4\cdot3+2\implies14-4\cdot3=2 \ \ (ii)\\
3=1\cdot2+1\implies3-1\cdot2=1 \ \ (iii)\end{cases}[/tex3]

De [tex3](ii)[/tex3] em [tex3](iii)[/tex3]:
[tex3]3-1\cdot(14-4\cdot3)=1\\
5\cdot3-1\cdot14=1\
\text{ Substituindo (i):}\\
5\cdot(45-3\cdot14)-1\cdot14=1\\
45\cdot5+14\cdot(-16)=1\\
45\cdot(55)+14\cdot(176)=11[/tex3]

Logo, [tex3]x_0=55[/tex3] e [tex3]y_0=-176[/tex3] é uma solução particular.
Daí, a solução geral da equação diofantina é:
[tex3]\begin{cases}x=55+14t\\
y=-176-45t\end{cases}, \ \ t\in\mathbb{Z}[/tex3]

Isso está correto?

Resposta

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comprei um livro que simplesmente não tem gabarito...

[FelipeMartinMOD]

Corretíssimo, Babi! Tudo perfeito. É assim que se resolve essas equações.

[Babi123]

Corretíssimo, Babi! Tudo perfeito. É assim que se resolve essas equações.

Ótimo!!!!
Me tire uma dúvida: o que seria uma solução minimal? E qual o procedimento para obtê-la?

[FelipeMartinMOD]

Babi123, eu não sei o que significa solução minimal. Tudo o que eu sei dessas equações é como resolvê-las.