Pré-Vestibular ⇒ (UFES) Circunferências - Geometria Plana Tópico resolvido

[An1]

16. (UFES) Três circunferências de raios iguais a r tangenciam-se externamente duas a duas nos pontos A, B e C.
A área do triângulo curvilíneo ABC assim formado é:

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[petrasMOD]

An1,

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Transcreva a questão abaixo da figura

[JigsawMOD]

petras, REDIGITEI o enunciado da questão caso alguem queira efetuar a sua resolução.

[petrasMOD]

Jigsaw,

Os centros das três circunferências formam um triângulo equilátero de lado 2r
A área desse triângulo equilátero é:

\[
A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2r)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4r^2 = \sqrt{3} r^2.
\]


Cada setor circular é formado pelo raio da circunferência e um ângulo de 60^o de área:

\[
A_{\text{setor}} = \frac{\pi r^2}{6}.
\]

Como há três setores circulares, a soma das áreas dos setores é:

\[
A_{\text{total setores}} = 3 \times \frac{\pi r^2}{6} = \frac{\pi r^2}{2}.
\]

A área do triângulo curvilíneo ABC é a área do triângulo equilátero menos a soma das áreas dos três setores circulares:

\[
A_{\text{curvilíneo}} = A_{\triangle} - A_{\text{total setores}}.
\]


\[
A_{\text{curvilíneo}} = \sqrt{3} r^2 - \frac{\pi r^2}{2}.
\]


\[
\boxed{\left( \sqrt{3} - \frac{\pi}{2} \right) r^2.}
\] ou [tex3]\boxed{(\frac{2\sqrt3-\pi}{2}).r^2}[/tex3]