IME / ITA ⇒ (EPCAR - 2007) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:276)]

Em um triângulo isósceles [tex3]AOB,[/tex3] retângulo em [tex3]O,[/tex3] de cateto igual a [tex3]b,[/tex3] são dados os pontos [tex3]P[/tex3] entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]O[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] entre [tex3]O[/tex3] e [tex3]B[/tex3] de tal maneira que [tex3]AP = PQ = QB = x .[/tex3] O valor de [tex3]x[/tex3] é:

a) [tex3]b\sqrt{2}[/tex3]
b) [tex3]2b[/tex3]
c) [tex3]2b+ b\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]2b- b\sqrt{2}[/tex3]

Resposta:

---

d

[cajuADMIN]

Olá Pedro,

Fazendo o desenho, vemos que os segmentos [tex3]AB[/tex3] e [tex3]PQ[/tex3] são paralelos, o que indica que os triângulos [tex3]AOB[/tex3] e [tex3]POQ[/tex3] são semelhantes.
Aplicamos a semelhança

• [tex3]\frac{b}{b-x}=\frac{b\sqrt 2}{x}[/tex3]
  
  [tex3]bx=\sqrt{2}b^2-bx\sqrt{2}[/tex3]
  
  [tex3]bx(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}b^2[/tex3]
  
  [tex3]x(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}b[/tex3]
  
  [tex3]x=\frac{\sqrt{2}b}{1+\sqrt{2}}[/tex3]

Agora racionalizamos:

• [tex3]x=\frac{\sqrt{2}b}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}[/tex3]
  
  [tex3]x=\frac{b(\sqrt 2-2)}{1-2}[/tex3]
  
  [tex3]x=b(2-\sqrt 2)[/tex3]
  
  [tex3]x=2b-b\sqrt 2[/tex3]

Poderia ser feito através de Pitágoras também, deixo para outro usuário fazer esta outra resolução.

[Auto Excluído (ID:276)]

Olá prof.

Sim, na verdade, através das relações trigonométricas também poderia ser feito já que o triângulo retângulo também é isósceles (ângulos de [tex3]45^\circ).[/tex3]

O problema é que chegava sempre a esta resposta: [tex3]b\sqrt{2} - x\sqrt{2} = x.[/tex3]

Não enxerguei a possibilidade de passar o [tex3]x[/tex3] para o outro lado e colocar em evidência. O óbvio fugiu de mim.

Abraços e obrigado pela ajuda.