Olimpíadas ⇒ Função (Suneung - Coreia do Sul/2021) Tópico resolvido

[joaovitor]

Seja [tex3]x \in \mathbb{R} [/tex3], tal que [tex3]f(x)[/tex3] satisfaça [tex3]f(x)^3 - f(x)^2 - x^2f(x) + x^2 = 0[/tex3]

Quando o valor máximo de [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]1[/tex3] e o mínimo de [tex3]f(x)[/tex3] é [tex3]0[/tex3], qual é o valor de [tex3]f\(-\frac{4}{3}\) + f(0) + f\(\frac{1}{2}\) ?[/tex3]

a) [tex3]-\frac{1}{3}[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

Resposta

---

e)[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

[GiovanaMSPMOD]

Primeiramente, vou realizar algumas manipulações. Veja:

[tex3]\mathrm{[f(x)]^3-[f(x)]^2-x^2f(x)+x^2=0}[/tex3]

[tex3]\mathrm{[f(x)]^2[f(x)-1]-x^2[f(x)-1]=0}[/tex3]

[tex3]\mathrm{[f(x)-1][f(x)+x][f(x)-x]=0}[/tex3]

Note que o produto é nulo em três casos, quais sejam: [tex3]\mathrm{f(x)=\begin{cases}
\mathrm{1} \\
\mathrm{\pm \ x}
\end{cases}}[/tex3].

Do enunciado, note que [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3] tem como valores mínimo e máximo, respectivamente, 0 e 1. Assim, podemos estabelecer uma função definida por sentenças da seguinte forma:

[tex3]\mathrm{f(x)=\begin{cases}
\mathrm{1,se\ x\leq -1\ \vee\ x\geq 1} \\
\mathrm{-x,se\ -1<x\leq 0} \\
\mathrm{x,se\ 0<x<1}
\end{cases}}[/tex3]

A ilutração gráfica da função é dada por:

https://www.geogebra.org/classic/cmrt574n

Do gráfico acima concluímos que:

[tex3]\mathrm{f\left(-\frac{4}{3}\right)+f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)=1+0+\frac{1}{2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{f\left(-\frac{4}{3}\right)+f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}}}}[/tex3]

[joaovitor]

Primeiramente, vou realizar algumas manipulações. Veja:

[tex3]\mathrm{[f(x)]^3-[f(x)]^2-x^2f(x)+x^2=0}[/tex3]

[tex3]\mathrm{[f(x)]^2[f(x)-1]-x^2[f(x)-1]=0}[/tex3]

[tex3]\mathrm{[f(x)-1][f(x)+x][f(x)-x]=0}[/tex3]

Note que o produto é nulo em três casos, quais sejam: [tex3]\mathrm{f(x)=\begin{cases}
\mathrm{1} \\
\mathrm{\pm \ x}
\end{cases}}[/tex3].

Do enunciado, note que [tex3]\mathrm{f(x)}[/tex3] tem como valores mínimo e máximo, respectivamente, 0 e 1. Assim, podemos estabelecer uma função definida por sentenças da seguinte forma:

[tex3]\mathrm{f(x)=\begin{cases}
\mathrm{1,se\ x\leq -1\ \vee\ x\geq 1} \\
\mathrm{-x,se\ -1<x\leq 0} \\
\mathrm{x,se\ 0<x<1}
\end{cases}}[/tex3]

A ilutração gráfica da função é dada por:

https://www.geogebra.org/classic/cmrt574n

Do gráfico acima concluímos que:

[tex3]\mathrm{f\left(-\frac{4}{3}\right)+f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)=1+0+\frac{1}{2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{f\left(-\frac{4}{3}\right)+f(0)+f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}}}}[/tex3]

Sabe muito Vlw!