IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2013) Trigonometria Tópico resolvido

[gabrielmacc]

A figura abaixo mostra um paralelogramo [tex3]ABCD[/tex3]. Se d representa o comprimento da diagonal [tex3]BD[/tex3] e [tex3]\alpha [/tex3] e beta são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o comprimento [tex3]x[/tex3] do lado [tex3]AB[/tex3] satisfaz a equação

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Resposta

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5) B

[ProfLaplace]

Eai, beleza?
O ângulo BAD é [tex3]\pi-(\alpha+\beta)[/tex3] e o ângulo ADB é [tex3]\alpha[/tex3].
Aplique Lei dos Senos no triângulo ABD:

[tex3]\frac{x}{\sin{\alpha}}=\frac{d}{\sin{(\pi-(\alpha+\beta))}}=\frac{d}{\sin{(\alpha+\beta)}} \Rightarrow x=\frac{d\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}[/tex3].

Substituindo esse x na letra B do enunciado, você chega em [tex3]\arctan{(\tan{\alpha})}[/tex3], que é realmente [tex3]\alpha[/tex3].

[gabrielmacc]

hmm entendi, ent n tinha como chegar em si na resposta né, vc tinha que sacar a substituição e ver se dava? pq eu cheguei nessa relação porem n soube oq fazer com ela.Obrigado msm.

[petrasMOD]

gabrielmacc,

[tex3]\angle A = 180^o -(\alpha+\beta)\\
\frac{d}{sen\angle A}=\frac{x}{sen \alpha} \implies \frac{d}{sen180^o -(\alpha+\beta)}=\frac{x}{sen \alpha} \\
sen(ab) = seacosb-senbcosa \implies sen180cos(\alpha+\beta)-sen(\alpha+\beta)-cos180^o =\\
0.cos(\alpha+\beta)-sen(\alpha+\beta)(-1)=sen(\alpha+\beta)\\
\therefore x = \frac{dsen\alpha}{sen(\alpha+\beta}\implies sen\alpha =\frac{xsen(\alpha+\beta)}{d} (\frac{1}{cos \alpha})\\
tg\alpha =\frac{xsen(\alpha+\beta)}{cos\alpha.d} \therefore \boxed{\alpha = arc tg (\frac{xsen(\alpha+\beta)}{cos\alpha.d})}
[/tex3]