IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1983) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No tetraedro [tex3]VABC[/tex3] tem-se:
[tex3]VA=4\text{ m}[/tex3]; [tex3]VB=3\text{ m}[/tex3]; [tex3]AC=5\text{ m}[/tex3];
[tex3]\hat{AVB}=60^\circ[/tex3]; [tex3]\hat{CAB}=90^\circ[/tex3];
a aresta [tex3]AV[/tex3] forma com o plano [tex3]ABC[/tex3] um ângulo de [tex3]30^\circ[/tex3].
O volume deste tetraedro em [tex3]m^3[/tex3] é:

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(A) [tex3]\frac{5\sqrt{13}}{3}[/tex3].
(B) [tex3]10[/tex3].
(C) [tex3]5\sqrt{13}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{50}{3}[/tex3].
(E) [tex3]\frac{10\sqrt{13}}{3}[/tex3].

[fabit]

Objetivo: achar o volume.
Para tanto, de que precisamos? área da base e altura.

Como obter a altura do tetraedro? Ora, ela é a medida da linha que projeta ortogonalmente o vértice V sobre o plano ABC. Seja P o pé da altura, o triângulo VPA é retângulo em P e vale [tex3]\overline{VP}=\overline{VA}\sin30^\circ=4\times0,5=2[/tex3]

Como obter a área da base? Sendo ABC triângulo retângulo em A, é [tex3]\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}{2}[/tex3]
Já temos AC=5, faltando achar AB e substituir. Isso é feito usando Lei dos Cossenos no triângulo VAB:
[tex3]\overline{AB}^2=4^2+3^2-2\times4\times3\cos60^\circ=25-12=13\Rightarrow\overline{AB}=\sqrt{13}[/tex3]

Então [tex3]\begin{cases}S_b=\frac{5\sqrt{13}}{2}\\h=2\end{cases}[/tex3]

Logo [tex3]V=\frac{1}{3}S_b.h=\frac{5\sqrt{13}}{3}[/tex3]

Letra A.