Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1978) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um quadrado tem lado [tex3]a[/tex3]. Sobre cada lado, tomamos um ponto situado à direita de cada vértice, a uma distância [tex3]\frac{3a}{4}[/tex3] deste. Unindo os pontos consecutivos, formamos um novo quadrado. Repetimos o processo indefinidamente. A soma das áreas de todos esses quadrados, inclusive o inicial, vale

A) [tex3]\frac{8a}{3}[/tex3].
B) [tex3]\frac{8a^3}{5}[/tex3].
C) [tex3]\frac{8a^4}{3}[/tex3].
D) [tex3]\frac{8a^2}{7}[/tex3].
E) [tex3]\frac{8a^2}{3}[/tex3].

[fabit]

Estamos entre letras [tex3]D[/tex3] e [tex3]E[/tex3], somente. Só de olhar, as demais opções têm potências que não refletem áreas, pois o lado do quadrado original é [tex3]"a"[/tex3] e portanto áreas são múltiplos do quadrado de [tex3]"a"[/tex3] (a elevado a 2).

O lado do segundo quadrado deve ser achado com Pitágoras: catetos [tex3]\frac{3a}{4}[/tex3] e [tex3]\frac{a}{4}[/tex3], ficando a hipotenusa em [tex3]\frac{a\sqrt{10}}{4}[/tex3].

A área fica então [tex3]\frac{10a^2}{16}=\frac{5a^2}{8}[/tex3] então a razão da [tex3]PG[/tex3] é [tex3]q=\frac{5}{8}[/tex3].

A soma da [tex3]PG[/tex3] será [tex3]\frac{a_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{5}{8}}=\frac{8a^2}{8-5}[/tex3] e já dá pra ver que vai dar letra E.