Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1974) Seqüência Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A soma [tex3]S=1+\frac{3}{4}+\frac{7}{16}+\frac{15}{64}+ ... +\frac{2^n-1}{2^{2n-2}}+ ...[/tex3] é:

a) [tex3]2[/tex3].
b) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3].
c) [tex3]4[/tex3].
d) [tex3]\frac{4}{3}[/tex3].
e) [tex3]\frac{8}{3}[/tex3].

[luan]

Primeiramente vamos escrever a fração [tex3]\frac{2^n-1}{2^{2n-2}}[/tex3] de outro modo.

[tex3]\frac{2^n-1}{2^{2n-2}} = \frac{2^n-1}{\frac{2^{2n}}{2^2}} = \frac{2^{n+2}-2^2}{2^{2n}} = 2^{2-n}-2^{2-2n}[/tex3]

Assim vamos ter a sequência:

[tex3]S=(2-1)+(1-\frac{1}{4})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{16})+\ldots+(2^{2-n}-2^{2-2n})+\ldots[/tex3]
[tex3]S=(2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+2^{2-n}+\ldots)-(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+2^{2-2n}+\ldots)[/tex3]
[tex3]S=\frac{2}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{1-\frac{1}{4}}[/tex3]
[tex3]S=\frac{2}{\frac{1}{2}}-\frac{1}{\frac{3}{4}}[/tex3]
[tex3]S=4-\frac{4}{3}[/tex3]
[tex3]S=\frac{8}{3}[/tex3]

[tex3]alternativa e[/tex3]