Física I ⇒ (SOIF 2017) Dinâmica da rotação Tópico resolvido

[παθμ]

Um aro de massa [tex3]m[/tex3] e raio [tex3]r[/tex3] pode girar sem deslizamento sobre uma superfície interna de um cilindro de raio [tex3]R.[/tex3] Determine o período de oscilação do aro considerando um ângulo [tex3]\theta_0[/tex3] inicial pequeno.

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[παθμ]

Solução:

Seja [tex3]v[/tex3] a velocidade do centro do aro e [tex3]\Omega = \dot{\theta}.[/tex3] Temos então [tex3]v=\Omega (R-r).[/tex3] Sendo [tex3]\omega[/tex3] a velocidade angular de rotação do aro em torno de si mesmo, temos pela condição de não deslizamento que [tex3]\omega r = \Omega (R-r) \Longrightarrow \omega = \frac{\Omega (R-r)}{r}.[/tex3]

O momento de inércia de um aro é [tex3]I=mr^2.[/tex3] A energia cinética de rotação é [tex3]K_r=\frac{I \omega^2}{2}=\frac{m(R-r)^2 \Omega^2}{2},[/tex3] e a de translação é [tex3]K_t=\frac{mv^2}{2}=\frac{m (R-r)^2 \Omega^2}{2}.[/tex3]

Tomando a referência como o centro do cilindro, a energia potencial do aro é [tex3]U=-mg(R-r)\cos(\theta).[/tex3]

Conservação da energia: [tex3]m(R-r)^2 \dot{\theta}^2-mg(R-r) \cos(\theta)= \text{cte.}[/tex3]

Derivando os dois lados em relação ao tempo:

[tex3]m(R-r)^2 \cdot 2 \dot{\theta}\ddot{\theta}-mg(R-r) (-\sin(\theta)) \dot{\theta}=0 \Longrightarrow \ddot{\theta}=-\frac{g}{2(R-r)}\sin(\theta) \approx -\frac{g}{2(R-r)} \theta.[/tex3]

Então a frequência angular de oscilação é [tex3]\omega_0= \sqrt{\frac{g}{2(R-r)}},[/tex3] e o período é [tex3]T=\frac{2\pi}{\omega_0}=\boxed{2\pi \sqrt{\frac{2(R-r)}{g}}}[/tex3]