IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1989) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere o problema de determinar o triângulo [tex3]ABC[/tex3], conhecidos [tex3]C=60^\circ[/tex3], [tex3]AB=x[/tex3] e [tex3]BC=6[/tex3]. Podemos afirmar que o problema

a) sempre admite solução, se [tex3]x > 0[/tex3].
b) admite duas soluções, se [tex3]x > 3[/tex3].
c) admite solução única, se [tex3]x=3[/tex3].
d) admite duas soluções , se [tex3]3\sqrt{3} < x < 6[/tex3].
e) não admite solução, se [tex3]x > 6[/tex3].

[fabit]

Letra d.

A distância de B até a reta suporte de AC é [tex3]BH=6\sin60^\circ=3\sqrt{3}[/tex3], onde H é o pé da altura relativa a B.

Se x>BH, mas não chega a 6, o lg dos pontos que distam x de B corta a reta suporte em dois pontos distintos válidos para chamar de A, gerando duas soluções.

[jrneliodias]

o lg dos pontos que distam x de B corta a reta suporte em dois pontos distintos válidos para chamar de A, gerando duas soluções.

Poderia explicar melhor?

[fabit]

Desenhe o seguinte:

1) uma reta horizontal (será chamada a reta suporte do segmento AC).
2) marque nessa reta o ponto C
3) faça um ângulo de 60º nesse ponto C e sobre a semirreta assim inclinada marque a distância de 6 unidades que é o comprimento BC (portanto o ponto marcado é B).
4) com linha tracejada, baixe uma perpendicular de B até a reta suporte horizontal. Chame de H o pé dessa altura. Perceba que BH mede [tex3]3\sqrt{3}[/tex3].

Após o passo 4, pegue seu compasso e coloque a ponta seca em B. Finja que vai traçar um círculo com centro em B e raio menor que a altura. Isso é x<BH, que gera 0 soluções.

Com x=BH, o vértice A coincide com H e fica um triângulo retângulo (1 solução). Abrindo o compasso mais ainda, porém não a ponto de atingir 6 unidades, o círculo a ser traçado corta a reta suporte em 2 pontos distintos, digamos A1 e A2. Ambos os triângulos CBA1 e CBA2 satisfazem as condições impostas.

Finalmente, com x maior ou igual a BC=6, só 1 solução servirá.

E agora, foi?

[Marcos]

Desenhe o seguinte:

1) uma reta horizontal (será chamada a reta suporte do segmento AC).
2) marque nessa reta o ponto C
3) faça um ângulo de 60º nesse ponto C e sobre a semirreta assim inclinada marque a distância de 6 unidades que é o comprimento BC (portanto o ponto marcado é B).
4) com linha tracejada, baixe uma perpendicular de B até a reta suporte horizontal. Chame de H o pé dessa altura. Perceba que BH mede [tex3]3\sqrt{3}[/tex3].

Após o passo 4, pegue seu compasso e coloque a ponta seca em B. Finja que vai traçar um círculo com centro em B e raio menor que a altura. Isso é x<BH, que gera 0 soluções.

Com x=BH, o vértice A coincide com H e fica um triângulo retângulo (1 solução). Abrindo o compasso mais ainda, porém não a ponto de atingir 6 unidades, o círculo a ser traçado corta a reta suporte em 2 pontos distintos, digamos A1 e A2. Ambos os triângulos CBA1 e CBA2 satisfazem as condições impostas.

Finalmente, com x maior ou igual a BC=6, só 1 solução servirá.

E agora, foi?

Olá, ALDRIN e jrneliodias.Observe uma ilustração à solução do fabit .

(Escola Naval - 1989) Trigonometria.gif (7.23 KiB) Exibido 1538 vezes

Os valores de [tex3]\bar{AB}[/tex3] que possibilita mais de uma solução entre [tex3]6\cdot \sen {60^o}<\bar{AB}< \bar{BC}[/tex3].

[tex3]6\cdot \sen {60^o}<\bar{AB}< \bar{BC}[/tex3]
[tex3]6\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)<\bar{AB}< 6[/tex3]
[tex3]{\boxed{\boxed{3\sqrt{3}<\bar{AB}< 6}} \Longrightarrow Letra: (D)}[/tex3].

Resposta: [tex3]D[/tex3]

[jrneliodias]

Obrigado pela atenção. Ficou uma dúvida, por que A'B não pode ser maior que BC?

[fabit]

Pode ser maior sim. Aproveitando a ilustração do Marcos, a quem agradeço a contribuição, no caso em que x>6, o ponto A segue sobre a semirreta CA para além do ponto A' indicado no círculo tracejado azul (direção Nordeste).