Concursos Públicos ⇒ 35 volume esfera Tópico resolvido

[Analisesousp]

Um arquiteto está projetando uma estrutura artística onde usa esferas de diferentes tamanhos inscritas e circunscritas a estruturas cúbicas como elementos decorativos de um grande complexo de lazer. Ele utiliza razões entre volumes de esferas para calcular materiais de preenchimento que serão utilizados em jogos de luz e sombra, onde as proporções são importantes para a acústica ou a estética visual do local. Visando manter um design eficiente e minimizando o desperdício, o arquiteto precisou calcular o quadrado da razão entre os volumes das esferas inscrita e circunscrita a um mesmo cubo. O valor obtido pelo arquiteto foi:

(A) 1/3
(B) 1/9
(C) 1/27
(D) 1/81
(E) 1/243

Resposta

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Gabarito C

Coseac 2024

[petrasMOD]

Analisesousp,

[tex3]a= aresta~cubo \implies r_{(e.inscr.)}= \frac{a}{2} \implies V_{(e.inscr.)}=\frac{4.\pi.a^3}{3.8}=\frac{\pi .a^3}{6} (I) \\
diagonal~cubo = a\sqrt3 \implies r_{(e.circ.)}=\frac{a\sqrt3}{2} \implies V_{(e.circ.)}=\frac{4.\pi.({a\sqrt3})^3}{3.8}=\frac{\pi .a^3\sqrt3}{2}(II) \\
\frac{I}{II} = \frac{\pi a^3}{6}.\frac{2}{\pi a^3\sqrt3} = \frac{1}{3\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{9 }\implies (\frac{\sqrt3}{9})^2 = \frac{3}{81} =\boxed{ \frac{1}{27}}

[/tex3]