Cap. 1 - Relações Métricas no Triângulo Retãngulo ⇒ Problema 13 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se AB = 7m e BC = 24m.
Calcular MN.
A) 5m
B) 6m
C) 7m
D) 8m
E) 9m

Resposta

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Resposta:B

(O desenho original foi refeito por que estava completamente fora de escala.)

[petrasMOD]

R = raio da circunferência maior
r = raio da circunferência menor
MO=c,
HB=h,
MO=d.
OM = y

[tex3] \mathsf{ \triangle ABC:
(2R)^2=a^2+b^2. :\\
h.2R = ab \implies
h=\frac{ab}{2R}\\

\triangle OBH: d^2+h^2=R^2 \implies d^2=R^2−h^2=R^2−\frac{a^2b^2}{(2R)^2}= R^2−\frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)} \\ \therefore d=\frac{a^2−b^2}{4k}\\

\text{Potência Ponto R em relação a circunferência menor:}\\

y^2=R(R−2r)=R^2−2Rr=R^2−2R(y−d)=R^2+\frac{a^2−b^2}{2}−2Ry\\

y^2+2Ry+R^2=2R^2+\frac{a^2−b^2}{2}\\

(y+R)^2=\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2−b^2}{2}=a^2\\

\therefore CM=y+R=a\\

CM=CB \\
AN=AB\\
MN=\underbrace{CM−CO}_{MO}+\underbrace{AN−CO(=AO)}_{ON}=CB+AB−AC=CB+AB−\sqrt{CB^2+AB^2}=24+7−\sqrt{24^2+7^2}=\boxed{6
}

}[/tex3]

(Solução:LuisFuentes-adaptada)