Ensino Superior ⇒ Integrais duplas - Diva Flaming. Cap 17, exercício 17 Tópico resolvido

[magben]

Calcular [tex3]\int\limits\int\limits_R x dxdy[/tex3], sendo R a região delimitada por [tex3]y=-x,y=4x[/tex3] e [tex3]y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}[/tex3]

[matbatrobin]

A região [tex3]R[/tex3] é um triângulo delimitado pelos pontos de encontro entre cada par de retas. O primeiro é a origem [tex3](0,0)[/tex3] dado por [tex3]-x=4x[/tex3], o segundo é [tex3](-1,4)[/tex3] dado por [tex3]8x=3x-5[/tex3], e o terceiro é [tex3](1,-1)[/tex3] dado por [tex3]-2x=3x-5[/tex3]. Então a integral procurada será igual a

[tex3]\int_{-1}^0\int_{\frac{3x-5}{2}}^{4x}xdydx+\int_0^1\int_{\frac{3x-5}{2}}^{-x}xdydx=\int_{-1}^0 x\left(\Big[y\Big]^{4x}_{\frac{3x-5}{2}}\right) dx+\int_{0}^1 x\left(\Big[y\Big]^{-x}_{\frac{3x-5}{2}}\right) dx=\int_{-1}^0 \frac{5x^2+5x}{2} dx+\int_{0}^1 \frac{5x^2-5x}{2} dx[/tex3][tex3]=\frac{5}{2}\left[\int_{-1}^0 (x^2+ x)\,dx+\int_{0}^1 (x^2-x)\, dx\right]=\frac{5}{2}\left(\frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\right)=0[/tex3].