ITA 1957 ⇒ Prova Completa - ITA 1957 (Apenas para consulta)

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INSTITUTO TÉCNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
CENTRO TÉCNICO DE AERONÁUTICA
EXAME DE HABILITAÇÃO DE 1957 – PROVA DE MATEMÁTICA

1^a Parte

1) Definir radiano; escrever a relação entre os números que medem um ângulo em graus e radianos e justificar a relação.
Que se entendendo por arco orientado?
Dois ângulos a e b são medidos em radianos pelos números 0,5 e 0,5 + 6[tex3]\pi[/tex3]. Qual o ângulo maior? Explicar a resposta.

2) Provar que [tex3]1+tg~ a =\frac{\sqrt2sen(a+45^o)}{cos~a} [/tex3]. (Sugestão: tg 45º = 1)

3) São dados os objetos A,B,C e D. Responder as perguntas seguintes (se tiverem sentido):
a) quantos são os arranjos desses objetos, tomados 3 a 3?
b) quantas as combinações, tomados 2 a 2?
c) quantas as permutações, tomados 3 a 3?
Escrever os arranjos desses objetos tomados 2 a 2; escrever as combinações 2 a 2; escrever as permutações dos 4 objetos. Em que se distinguem as combinações dos arranjos?

4) A que distância do vértice, devemos cortar um cone de revolução, por um plano paralelo à base, de modo que o volume do cone destacado seja [tex3]\frac{1}{8}[/tex3] do volume do primeiro cone?

2^a Parte

5) Se [tex3]abcd\neq0[/tex3], determine [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] no sistema de equações:
[tex3]ax + by = c[/tex3]
[tex3]px + qy = d[/tex3]
de modo que o sistema seja indeterminado.

6) É possível encontrar uma equação do tipo [tex3]x^3+ax^2+bx-5=0[/tex3], de modo que duas raízes sejam da forma [tex3]p[/tex3] e [tex3]\frac{1}{q}[/tex3] naturais, primos entre si) e a terceira raiz seja um número fracionário não inteiro? No caso de o problema ser possível, quais os valores de [tex3]p[/tex3]?

7) Resolver a equação (recíproca)
[tex3]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0[/tex3]

8 ) Sabendo-se que [tex3]a_n=\frac{n!}{n^n}[/tex3], calcular [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex3]

3^a Parte

9) Dado o tetraedro regular ABCD, tomam-se os pontos médios E de BC, F de AC, G de AD, H de BD. Mostre que o quadrilátero EFGH é um quadrado.

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10) Os números [tex3]a, b, c[/tex3] satisfazem a relação [tex3]a+b^2=1-b[/tex3]. Que condição deve satisfazer o número [tex3]a[/tex3], para que os logarítmos desses números [tex3]a, b, c[/tex3] , nessa ordem, formem uma progressão geométrica?

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