ITA 1950 ⇒ (ITA-1950) Equação trigonométrica II Tópico resolvido

[JigsawMOD]

Resolva a equação

[tex3]a\ tg\ x + b\ cotg\ x = c[/tex3]

onde a, b, c são números dados.

Resposta

---

Resposta: [tex3]tg\ x=\frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a} [/tex3], [tex3]c^2-4ab\geq0[/tex3]
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

[matbatrobin]

[tex3]a\,tg\,x-c+b(1/tg\,x)=0\Longrightarrow a(tg\,x)^2-c\,tg\,x+b=0[/tex3].
Tomando [tex3]y=tg\,x[/tex3], [tex3]ay^2-cy+b=0 \Longrightarrow tg\,x=y=\frac{c\pm \sqrt{c^2-4ab}}{2a}.[/tex3]

Todo ângulo [tex3]x[/tex3] pertence a [tex3]\mathbb{R}[/tex3], então necessariamente [tex3]c^2\geq 4ab[/tex3]. Além disso [tex3]x[/tex3] também não é múltiplo de [tex3]0[/tex3] ou de [tex3]\pi/2[/tex3], caso contrário teremos [tex3]cotg\,x=\pm \infty[/tex3] ou [tex3]tg\,x=\pm \infty[/tex3].