ITA 1954 ⇒ (ITA-1954) Definir superfícies cônica, cilíndrica e de revolução Tópico resolvido

[JigsawMOD]

1ª Parte

1 – Dizer quando uma fração ordinária é igual, maior ou menor que outra.
2 – Definir os conceitos de quociente e resto na divisão de polinômios racionais inteiros.
3 – Provar que a função [tex3]x-2[/tex3] é contínua no ponto [tex3]x=2[/tex3].
4 – Qual é o logarítmo, na base 10, de [tex3]\sqrt[3]{10^5}[/tex3]? Justificar a resposta.
5 – Definir superfícies cônica, cilíndrica e de revolução.
6 – Qual é a superfície total de um cone circular reto, cujo raio da base é 4 cm e a altura 20 cm?
7- Calcular sen 30º; usando este resultado, calcular sen 210º.
8 – Sendo [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] arcos do 1º quadrante e sabendo-se que [tex3]sen\ \alpha=\frac{1}{2} [/tex3] é igual e [tex3]sen\ \beta=\frac{1}{3}[/tex3], calcular [tex3]sen\ (a+b)[/tex3].
9 – Calcular o módulo de [tex3]\frac{3i}{2+i}[/tex3].
10 – A equação [tex3]2x^3+x^2-5x+2=0[/tex3] tem uma raiz igual a -2. Calcular as outras raízes dessa equação.

Resposta

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1) Resposta: Para A e m quaisquer (positivos) e [tex3]b\neq 0[/tex3], [tex3]n\neq 0[/tex3], teremos:
I) [tex3]\frac{a}{b}=\frac{m}{n}[/tex3], se [tex3]an\ =\ bm[/tex3];
II) [tex3]\frac{a}{b}<\frac{m}{n}[/tex3], se [tex3]an\ <\ bm[/tex3];
III) [tex3]\frac{a}{b}>\frac{m}{n}[/tex3], se [tex3]an\ >\ bm[/tex3];
2) Resposta: ND
3) Resposta: [tex3]\lim_{x \rightarrow 2}(x-2)=2-2=0[/tex3].
4) Resposta: Sendo [tex3]\sqrt[3]{10^5}=10^{\frac{5}{3}}[/tex3] e [tex3]log_{10}10=1 [/tex3], vem: [tex3]log_{10}\sqrt[3]{10^5}=\frac{5}{3}[/tex3].
5) Resposta: Superfície cilíndrica de revolução é aquela gerada por uma reta que gira em torno de eixo, mantendo-se paralela a ele. Quando uma reta gira em torno de um eixo fazendo um ângulo com o eixo constante ela descreve uma superfície cônica de revolução.
6) Resposta: [tex3]40\pi\ cm^2[/tex3].
7) Resposta: [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3].
8 ) Resposta: [tex3]\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}[/tex3].
9) Resposta: [tex3]\frac{3\sqrt{5}}{5}[/tex3].
10) Resposta: [tex3]1[/tex3] e [tex3]\frac{1}{2}[/tex3].
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

OBS = Também mantive os dez itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[matbatrobin]

Farei as que não são imediatas da definição, não estão totalmente feitas no gabarito nem as que a pergunta em si é dar a definição. Também não farei a 7.

3 - (Prova pela definição) Note que [tex3]f(2)=0[/tex3], então [tex3]f(x)-f(2)=x-2=f(x)[/tex3]. Dado [tex3]\epsilon>0[/tex3] qualquer, tomando [tex3]\delta=\epsilon[/tex3] temos [tex3]|x-2|<\delta=\epsilon \Longrightarrow |x-2|=|f(x)|=|f(x)-f(0)|<\epsilon[/tex3], logo [tex3]f[/tex3] é contínua em [tex3]0[/tex3]. (Prova por limite) Se [tex3]\lim_{x\to 2}f(x)=f(2)[/tex3], então [tex3]f[/tex3] é contínua em [tex3]2.[/tex3] De fato [tex3]\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}x-2=2-2=0=f(2)[/tex3], então [tex3]f[/tex3] é contínua em [tex3]2.[/tex3]

6 - [tex3]S_t=S_l+S_b=\pi rg+\pi r^2=\pi r(g+r) [/tex3], onde [tex3]g[/tex3] satisfaz [tex3]g^2=h^2+r^2=400+16\Longrightarrow g=\sqrt{416}=4\sqrt{26}[/tex3]. Daí segue que [tex3]S_t=\pi 4(4\sqrt{26}+4)=16\pi (1+\sqrt{26})\approx 97,58\pi cm^2 \neq 40\pi cm^2[/tex3] (divergiu do gabarito).

8 - [tex3]sen(a+b)= sen\,a \,cos\,b+sen\,b \,cos\,a[/tex3]. É claro que [tex3]a=30°,[/tex3] pois [tex3]0\leq a,b\leq 90°,[/tex3] então [tex3]cos\,a=\sqrt{3}/2[/tex3]. Usando [tex3](sen\,x)^2+(cos\,x)^2=1[/tex3], temos [tex3]cos\,b=2\sqrt{2}/3[/tex3]. Então [tex3]sen(a+b)= 2\sqrt{2}/6+\sqrt{3}/6.[/tex3]

9 - [tex3]z=\frac{3i}{2+i}=\frac{3i}{2+i}\frac{2-i}{2-i}=\frac{6i-3i^2}{4-i^2}=\frac{6i}{5}+\frac{3}{5}\Longrightarrow|z|=\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{45}{25}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.[/tex3]

10 - Dividindo [tex3]2x^3+x^2-5x+2[/tex3] por [tex3]x+2[/tex3] obtemos [tex3]2x^2-3x+1[/tex3]. A soma das raízes desse polinômio de grau 2 é [tex3]3/2[/tex3] e a multiplicação é [tex3]1/2[/tex3], logo as raízes que faltam são [tex3]1[/tex3] e [tex3]1/2.[/tex3]