Cap. 1 - Relações Métricas no Triângulo Retãngulo ⇒ Problema 28 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura calcular "x".
Os tamanhos da flecha são a = 2m e b = 1m flechas
I = incentro
E = exincentro
A) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]m
B) 3m
C) 3,5m
D) [tex3]\sqrt{10}[/tex3]m
E) [tex3]\sqrt{15}[/tex3]m

Resposta

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Resposta:D

[FelipeMartinMOD]

Sabe-se que o ponto médio do arco [tex3]\widehat{BC}[/tex3] é também ponto médio do segmento [tex3]II_A[/tex3]. Na figura, isso significa que [tex3]IE = 2x[/tex3]. Mais do que isso, esse ponto médio equidista de [tex3]I,B,C[/tex3] e [tex3]E[/tex3].

Logo: [tex3]\sen (\frac A2) = \frac bx \implies x = \frac b{\sen (\frac A2)}[/tex3]

Pois, como [tex3]\tg (45^{\circ} - \frac A2) = \frac {2a}{AC}[/tex3], [tex3]\tg (\frac A2) = \frac {2b}{BC}[/tex3]

e [tex3]\tg (A) = \frac{BC}{AC}[/tex3]:

[tex3]\frac{\tg (45^{\circ} - \frac A2)}{\tg (\frac A2)} = \frac{aBC}{bAC} = \frac ab \tg (A)[/tex3]

pronto. Seja [tex3]y = \tg (\frac A2)[/tex3], temos:

[tex3]\frac{1-y}{1+y} = \frac{4y^2}{1-y^2} \iff 4y^2 = (1-y)^2 \iff \pm 2y = 1-y \iff \\ \iff y = \frac1{1 \pm 2} \implies y= \frac13[/tex3]

donde [tex3]\sen (\frac A2) = \frac 1{\sqrt{10}} \implies x = \sqrt{10}[/tex3]