Cap. 1 - Relações Métricas no Triângulo Retãngulo ⇒ Problema 19 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Dado o quadrante [tex3]AOB[/tex3], [tex3]AE=2[/tex3] e [tex3]EB =\sqrt{2}[/tex3].
Calcular o tamanho do raio.

A) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
B) [tex3]2[/tex3]
C) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
D) [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
E) [tex3]\sqrt{6}[/tex3]

Resposta

---

Resposta: C

[cajuADMIN]

Fazendo o desenho completo do círculo:

Vemos que o ângulo [tex3]ACB=\beta[/tex3], inscrito na circunferência, vale metade do ângulo central [tex3]AOB=90^\circ[/tex3]. Ou seja, [tex3]\beta=45^\circ[/tex3].

Assim, pensando no quadrilátero inscritível [tex3]CAEB[/tex3], podemos concluir que a soma [tex3]\beta+\theta=180^\circ[/tex3]. Portanto, [tex3]\theta=135^\circ[/tex3].

Agora podemos aplicar lei dos cossenos no triângulo [tex3]AEB[/tex3] com relação ao ângulo [tex3]\theta[/tex3], chamando [tex3]AB=x[/tex3]:

[tex3]x^2=2^2+\sqrt{2}^2-2\cdot 2\cdot\sqrt{2}\cdot\cos(135^\circ)[/tex3]

Sabendo que [tex3]\cos(135^\circ)=-\cos(45^\circ)[/tex3]

[tex3]x^2=4+2-4\cdot\sqrt{2}\cdot\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)[/tex3]

[tex3]x^2=6+4\Rightarrow\boxed{x=\sqrt{10}}[/tex3]

Agora podemos pegar o triângulo [tex3]AOB[/tex3], que é retângulo isósceles, e aplicar a fórmula da diagonal do quadrado para calcular o valor [tex3]R[/tex3] do raio:

[tex3]\sqrt{10}=R\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]R=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}\Rightarrow\boxed{\boxed{R=\sqrt{5}}}[/tex3]