Olimpíadas ⇒ Quadriláteros (OBM-2006) Tópico resolvido

[papirador]

No quadrilátero ABCD abaixo, os pontos M,N,P e Q são pontos médios dos lados AB,BC,CD e DA, respectivamente. Sabendo que a área hachurada é de 20cm², determine a medida da área do quadrilátero EFGH, em cm².
A)18
B)20
C)22
D)24
E)16

Resposta

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b

[matbatrobin]

Tome os triângulos BFC, CGD, DHA, EAB e veja que unidos eles formam justamente a figura obtida pela retirada do quadrilátero pequeno EFGH do quadrilátero grande ABCD. O que acontece se somarmos as áreas dos triângulos QAB, MBC, NCD, PDA em vez das dos triângulos anteriores? Teremos a área anterior acrescida da área hachurada. Chamaremos a área hachurada de [tex3]S.[/tex3] Portanto, se uma figura geométrica X tem área [tex3]A_X[/tex3], temos que [tex3]A_{EFGH}=A_{ABCD}-(A_{ABQ}+A_{MBC}+A_{NCD}+ A_{PDA})+S.[/tex3]

Agora precisamos achar [tex3]A_{ABCD}-(A_{QAB}+A_{MBC}+A_{NCD}+ A_{PDA}),[/tex3] o que seria fácil de calcular caso o quadrilátero em questão fosse um quadrado ou um retângulo, mas aqui precisamos de uma abordagem diferente. Note que se pegarmos o quadrilátero grande original ABCD e traçarmos a diagonal AC teremos dois triângulos, o CDA e o ABC que satisfazem [tex3]A_{ABC}+A_{CDA}=A_{ABCD}[/tex3]. Usando o fato de que M e P são pontos médios dos lados AB e CD, temos [tex3]A_{ABC}=2A_{MBC},[/tex3] [tex3]A_{CDA}=2A_{PDA}[/tex3]. Logo, [tex3]A_{MBC}+A_{PDA}=\frac{1}{2}A_{ABCD}[/tex3]. Analogamente, se traçarmos a diagonal [tex3]BD[/tex3], encontraremos [tex3]A_{ABQ}+A_{NCD}=\frac{1}{2}A_{ABCD}[/tex3]. Portanto, segue que [tex3]A_{MBC}+A_{PDA}+A_{ABQ}+A_{NCD}=A_{ABCD}[/tex3].

Juntando tudo, fica [tex3]A_{EFGH}=A_{ABCD}-(A_{ABQ}+A_{MBC}+A_{NCD}+ A_{PDA})+S=A_{ABCD}-(A_{ABCD})+S=S=20.[/tex3] Reposta: B).