Cap. 2 - Relações Métricas nos Triângulos Oblicuângulos ⇒ Problema 47 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

A diferença dos tamanhos dos lados BC e AB de um triângulo ABC é 8.
Se o segmento que une o incentro ao baricentro é paralelo a AC,
calcular o tamanho da projeção da mediana BM sobre AC
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 9

Resposta

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Resposta:C

[petrasMOD]

a,b,c são os lados postos aos vértices correspondentes
Portanto d = a − c = 8.\\
[tex3]
\mathsf{
BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}−\frac{b^2}{4}\\
\triangle BDM \sim \triangle GFM\\
\text{Dado que o baricentro está na mediana a 2/3 da distancia do vértice, a razão de semelança es 1/3}\\
\therefore r=\frac{G}{H}=\frac{h}{3}\\
p= semiperímetro: \implies S=pr=\frac{bh}{2}⇒\frac{2ph}{3}=bh \implies a+b+c=3b \therefore a+c=2b\\
Como~ a−c=d \implies a=b+\frac{d}{2} ~e~ c=b−\frac{d}{2}.\\
p=\frac{(a+b+c)}{2}=\frac{3b}{2} \implies\\ p−a=\frac{(b+c−a)}{2}=\frac{(b−d)}{2},\\
p−c=\frac{(b+d)}{2}\\
p−b=\frac{b}{2}.\\
S^2=p(p−a)(p−b)(p−c)=\frac{3b^2(b^2−d^2)}{16}\\
h^2=\frac{4S^2}{b^2}=\frac{3}{4}(b^2−d^2)\\
BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}−\frac{b^2}{4}=\frac{4b^2+d^2}{4}−\frac{b^2}{4}=\frac{3b^2+d^2}{4}\\
DM^2=BM^2−h^2=\frac{3b^2+d^2}{4}−\frac{3}{4}(b^2−d^2)=\frac{4d^2}{4}=d^2\\
\therefore \boxed{DM=d=8.}\\
}[/tex3]