Cap. 2 - Relações Métricas nos Triângulos Oblicuângulos ⇒ Problema 53 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se tem uma semicircunferência de diâmetro AB na qual se tem inscrito um trapézio isósceles ABCD, (AB || CD). Sobre AB se toma um ponto "P" de tal forma que PA² + PB² = 5²
Calcular: PC² + PD².
A) 10m²
B) 15m²
C) 5m²
D) 2,5m²
E)) 1m²

Resposta

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Resposta:C

[petrasMOD]

[tex3]

\triangle ABP: PD^2 = l^2+PA^2 - 2lPA\cos \theta(I)\\
\triangle PCB: PC^2 = l^2+PB^2 - 2lPB\cos \theta(II)\\
(I)+(II)PC^2+PD^2 = 2l^2+PA^2+PB^2-2l\cos \theta(PA+PB)\\
\underbrace{PC^2+PD^2} =2l^2+ 25-2l\cos \theta(PA+PB)\\
\underbrace{PC^2+PD^2} =2l^2+ 25-2l\cos \theta(2R)(III)\\
OE \perp CB (E \in BC)\\
OC = OB \implies △OBC_{(isos)}, \therefore ∡OEB=90^∘\\
BE=\frac{l}{2}\\
\therefore△OBE:OB=R\\
\cos θ=\frac{BE}{OB}=\frac{\frac{l}{2}}{R}=l2R→2l\cos θ(2R)=4lR\(\frac{l}{2R}\)=2l^2\\
DE(III): PC^2+PD^2=2l^2+25−2l\cos θ(2R)=2l^2+25−2l^2
\therefore \boxed{PC^2+PD^2 =25}[/tex3]
(Solução:JohnOmielan)