Cap. 2 - Relações Métricas nos Triângulos Oblicuângulos ⇒ Problema 59- Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Sea [tex3]ABC[/tex3], um triângulo cujos lados são [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3], [tex3]c[/tex3]. Se divide cada lado do triângulo en "[tex3]n[/tex3]" segmentos congruentes.
Seja [tex3]S[/tex3] a soma dos quadrados das distancias de cada vértice a cada um dos pontos da divisião do lado oposto distintos dos vértices.

Calcular: [tex3]\frac{S}{a^2+b^2+c^2}[/tex3]

A) [tex3]\frac{(n-1)(5n-1)}{6n}[/tex3]
B) [tex3]\frac{(n-1)(2n-1)}{3n}[/tex3]
C) [tex3]\frac{({2^n}^n-1)(n+1)}{n-1}[/tex3]
D )[tex3]\frac{(n-1)(n^2-n+1)}{n-1}[/tex3]
E) [tex3]n^2+n+1[/tex3]

Resposta

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Resposta:A

[FelipeMartinMOD]

Teorema de Stewart no [tex3]i[/tex3]-ésimo segmento:

[tex3]b^2 i \frac an + c^2 \frac{n-i}na = a( x_i^2 + \frac{a^2}{n^2}i(n-i))[/tex3]

Apliquemos um somatório dos dois lados: [tex3]\sum_{i=1}^{n-1}[/tex3] dos dois lados:

[tex3]b^2a \frac{(n-1)}2 + c^2a \frac{(n-1)}2 = a( S_a + \frac{a^2}{n^2} \sum_{i=1}^{n-1}i(n-i))[/tex3]
[tex3](b^2+c^2)(n-1) = 2(S_a + \frac{a^2}{n^2} \sum_{i=1}^{n-1}i(n-i)) [/tex3]

Como [tex3]\sum_{i=1}^{n-1}i(n-i) = n\sum_{i=1}^{n-1}i - \sum_{i=1}^{n-1}i^2 = \\ = \frac{n^2(n-1)}2 - \frac{n(n-1)(2n-1)}6 = \\ = \frac{n(n-1)}6[3n - 2n +1] = \frac{n^3-n}6[/tex3]

[tex3](b^2+c^2)(n-1) = 2(S_a + \frac{a^2}{n} \frac{(n^2-1)}6) [/tex3]
[tex3](b^2+c^2)(n-1) = 2S_a + \frac{a^2}{n} \frac{(n-1)(n+1)}3) \iff \\ \iff 2S_a = (b^2+c^2-\frac{(n+1)}{3n}a^2)(n-1)[/tex3]

ah, isso que eu fiz foi só pro [tex3]A[/tex3].

Analogamente:

[tex3]2S_b = (a^2+c^2-\frac{(n+1)}{3n}b^2)(n-1)[/tex3]

e

[tex3]2S_c = (a^2+b^2-\frac{(n+1)}{3n}c^2)(n-1)[/tex3]

por fim: [tex3]2S = 2(S_a+S_b+S_c) = (2a^2+2b^2+2c^2 - (a^2+b^2+c^2)\frac{n+1}{3n})(n-1)[/tex3]

[tex3]2S = (a^2+b^2+c^2)(n-1)(2 - \frac{n+1}{3n}) = \frac{(a^2+b^2+c^2)(n-1)(5n-1)}{3n}[/tex3]

letra A