Ensino Superior ⇒ Séries de Taylor Tópico resolvido

[DudaS]

Use a série binomial para escrever a expansão em série de Taylor de [tex3]{(1-x^2)}^{-\frac{1}{2}}[/tex3] e integre essa para obter a série de Taylor de [tex3]\arcsen(x)[/tex3]
Se puderem me ajudar nessa aqui, achei ela complexa. agradeço qualquer ajuda!

[matbatrobin]

Intuição
A série binomial ou Binômio de Newton nos dá que se [tex3]y\in \mathbb{R}[/tex3] e [tex3]n\in \mathbb{Z},[/tex3] então [tex3]\big(1+y\big)^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}y^k=\sum_{k=0}^n\frac{n(n-1) \cdot \cdot\, \cdot (n-k+1)}{k!} y^k.[/tex3]

A fórmula de Taylor de [tex3]f(x)[/tex3] com [tex3]a=0[/tex3] (Maclaurin) nos dá que se [tex3]f[/tex3] tiver suas [tex3]n[/tex3] primeiras derivadas contínuas num intervalo fechado contendo [tex3]0[/tex3] e sua [tex3](n+1)\textrm{-}[/tex3]ésima derivada existe em todo ponto do intervalo aberto correspondente, então

[tex3]f(y)=P_n(y)+R_n(y),[/tex3] onde [tex3]P_n(y)=\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}y^k[/tex3] (polinômio de Maclaurin), e [tex3]R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\epsilon)}{(n+1)!}x^{n+1}[/tex3] para algum [tex3]\epsilon[/tex3] no intervalo aberto mencionado. No caso especial em que [tex3]f[/tex3] é diferenciável infinitas vezes com todas elas contínuas, temos simplesmente

[tex3]f(y)=\sum_{k=1}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}y^k=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}y+\frac{f''(0)}{2!}y^2+...[/tex3]

Note que se [tex3]f(y)=(1+y)^n,[/tex3] então [tex3]f'(y)=n(1+y)^{n-1}, f''(y)=n(n-1)(1+y)^{n-1},...\,,f^{(n-1)}(y)=n(n-1)\cdot \cdot \cdot2(1+y),[/tex3] [tex3]f^{(n)}(y)=n![/tex3] e [tex3]f^{(n+1)}(y)=0=f^{(n+j)}(y)\;\forall j\in \mathbb{N}.[/tex3] Logo, o Binômio de Newton é uma aplicação da Fórmula de Maclaurin para funções que tenham o formato [tex3](1+y)^n.[/tex3]


Resolução
Usando [tex3]n=-1/2[/tex3] e [tex3]y=-x^2[/tex3] na fórmula do Binômio, supondo [tex3]-1<x<1[/tex3] temos

[tex3]\begin{aligned}(1-x^2)^{-1/2}&=1+\frac{(-\frac{1}{2})(-x^2)}{1!}+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-x^2)^2}{2!}+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})(-x^2)^3}{3!}+\frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})(-\frac{7}{2})(-x^2)^4}{4!}+... \\ &=1+\frac{1}{2\cdot 1!}x^2+\frac{1\cdot 3}{2^2 \cdot 2!}(x^2)^2+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2^3\cdot 3!}(x^2)^3+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2^4\cdot 4!}(x^2)^4+...+\frac{1\cdot 3\cdot\cdot\cdot (2n-1)}{2^n\cdot n!}(x^2)^n+... \end{aligned} [/tex3]

Integrando dos dois lados e usando o fato de que [tex3]\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},[/tex3] temos

[tex3]\begin{aligned}\int(1-x^2)^{-1/2} dx&=C+x+\frac{1}{2(2\cdot 1+1)\cdot 1!}x^{2+1}+\frac{1\cdot 3}{2^3(2\cdot 2+1) \cdot 2!}x^{2\cdot 2+1}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2^3(2\cdot 3+1)\cdot 3!}x^{2\cdot 3+1}+...+\frac{1\cdot 3\cdot\cdot\cdot (2n-1)}{2^n(2n+1)\cdot n!}x^{2n+1}... \\ arcsen (x)&=C+x+\sum^\infty_{k=1}\frac{1\cdot 3\cdot\cdot\cdot (2n-1)}{2^n(2n+1)\cdot n!}x^{2n+1}=C+\sum^\infty_{k=0}\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!\cdot 2^n(2n+1)\cdot n!}x^{2n+1}=C+\sum^\infty_{k=0}\frac{(2n)!}{4^n\cdot (n!)^2\cdot (2n+1)}x^{2n+1}\end{aligned}[/tex3]

Como [tex3]0=arcsen (0)=C,[/tex3] então [tex3]C=0[/tex3] e temos [tex3]\boxed{arcsen (x)=\sum^\infty_{k=0}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}}.[/tex3]