Cap. 2 - Relações Métricas nos Triângulos Oblicuângulos ⇒ Problema 58 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Duas circunferências de raios "R" e "r", se interceptam segundo um ângulo de 120°.
Se traça uma tangente comum externa AB (A e B são pontos de tangência).
Calcular o tamanho do raio da circunferência que é tangente as duas primeiras e tangente a AB.
A) [tex3]\frac{2Rr}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2}[/tex3]
B) [tex3]\frac{Rr}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2}[/tex3]
C) [tex3]\frac{4Rr}{(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2}[/tex3]
D) [tex3]\frac{Rr}{4(\sqrt{R}+\sqrt{r})^2}[/tex3]
E) [tex3]\frac{Rr}{18}[/tex3]

Resposta

---

Resposta:D

[petrasMOD]

]$O'$ is the center of the smaller circle.
[tex3]\mathsf {

\triangle IO'O:(r-x)^2+(IO')^2=(r+x)^2\implies IO'^2=r^2+2rx+x^2 -r^2+2rx-x^2 =4rx\\
\therefore IO'={\sqrt{4rx}}\\
\triangle JO'P:(R-x)^2+(JO')^2=(R+x)^2\implies JO'^2=R^2+2Rx+x^2 -R^2+2Rx-x^2 =4Rx\\
\therefore JO' =\sqrt{4Rx} \\
T.coss: OP^2=R^2+r^2−2Rrcos60^o = R^2+r^2-Rr\\
OQ \perp BP (Q \in BP)\\
\triangle OPQ: OP^2=OQ^2+PQ^2 \implies OQ^2=OP^2−(R−r)^2=Rr\\\\
\therefore OQ = \sqrt{Rr}\\
IJ=OQ=IO′+JO′\\
\therefore\sqrt{Rr} = \sqrt{4Rx}+\sqrt{4rx} \implies Rr = 4Rx+4rx+2\sqrt{16x^2Rr}\\
Rr = 4Rx+4rx+8x\sqrt{Rr}=4x(R+r+2\sqrt x)\\
\therefore \boxed{x = \frac{Rr}{4(r+r+2\sqrt{Rr}) }=\frac{Rr}{4(\sqrt R+\sqrt r)^2}}
}[/tex3]
Solução:ACB-adaptada}