Ensino Fundamental ⇒ Critério de divisibilidade Tópico resolvido

[FISMAQUIM]

Sejam A e B dois números distintos de sete algarismos, cada um deles contendo todos os algarismos de 1 até 7. Mostre que A não é divisível por B.

[cajuADMIN]

Pelos critérios de divisibilidade que temos para os inteiros de 1 a 10, os critérios para 3 e por 9 parecem se encaixar perfeitamente com essa questão, pois ambos envolvem a soma dos algarismos do número em questão.

Tanto [tex3]A[/tex3] quanto [tex3]B[/tex3] possuem a soma dos algarismos igual a:

[tex3]1+2+3+4+5+6+7=28[/tex3]

Ou seja, como [tex3]28[/tex3] é [tex3]1[/tex3] unidade a mais do que [tex3]27[/tex3], e [tex3]27[/tex3] é divisível por [tex3]3[/tex3] e por [tex3]9[/tex3], podemos concluir que tanto [tex3]A[/tex3] quanto [tex3]B[/tex3] serão [tex3]1[/tex3] unidade a mais do que um número divisível por [tex3]3[/tex3] e por [tex3]9[/tex3] ao mesmo tempo.

Como [tex3]9[/tex3] é múltiplo de [tex3]3[/tex3], podemos pensar somente na divisibilidade por [tex3]9[/tex3] daqui por diante.

Assim, podemos escrever [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] como:

[tex3]A = 9k + 1[/tex3]
[tex3]B = 9q + 1[/tex3]

Agora, vamos supor que [tex3]A[/tex3] seja divisível por [tex3]B[/tex3], de forma que existe

[tex3]p\in\mathbb{Z}[/tex3] tal que [tex3]A=pB[/tex3].

Como os valores de [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] só podem ser números com todos os algarismos de [tex3]1[/tex3] a [tex3]7[/tex3], podemos ver que tanto [tex3]A[/tex3] quanto [tex3]B[/tex3] estarão no intervalo [tex3][1234567,\,7654321][/tex3], o que nos leva a concluir que o maior valor possível de [tex3]p[/tex3] em [tex3]A=pB[/tex3] seria na situação onde [tex3]A=7654321[/tex3] e [tex3]B=1234567[/tex3] o que geraria [tex3]p=\frac{7654321}{1234567}\approx6,2[/tex3], o que é absurdo, pois [tex3]p\in\mathbb{Z}[/tex3]. Mas, mesmo assim, esse resultado nos mostra que, obrigatoriamente, [tex3]p\le 6[/tex3]. Como [tex3]p[/tex3] é inteiro, só podemos ter [tex3]p\in\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}[/tex3].

Substituindo os valores de [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] na suposição [tex3]A=pB[/tex3]:

[tex3]9k + 1=p(9q + 1)[/tex3]

[tex3]9k + 1=9pq + p[/tex3]

[tex3]p=9(k-pq) + 1[/tex3]

Nesse ponto, concluímos que [tex3]p[/tex3] também é [tex3]1[/tex3] unidade maior do que um múltiplo de [tex3]9[/tex3].

Assim, dentre os valores possíveis de [tex3]p\in\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}[/tex3], vemos que o único que é [tex3]1[/tex3] unidade maior do que um múltiplo de [tex3]9[/tex3] é [tex3]p=1[/tex3], pois [tex3]0[/tex3] é múltiplo [tex3]9[/tex3] (é múltiplo universal).

Mas, [tex3]p=1[/tex3] nos leva que [tex3]A=1\cdot B\Rightarrow\boxed{A=B}[/tex3], o que é ABSURDO, já que o enunciado nos diz que [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são distintos.

Portanto, concluímos que é um ABSURDO supor que [tex3]A[/tex3] é divisível por [tex3]B[/tex3], o que nos leva a conclusão de que:

A não é divisível por B

[FISMAQUIM]

caju, muito obrigado