Concursos Públicos ⇒ Produtos notáveis - Diferença dos quadrados Tópico resolvido

[uzielita]

Paulo está interessado em fazer vestibular para o curso de matemática e quer compreender a seguinte frase: "A diferença dos quadrados de dois números ímpares é sempre divisível por 8". Ele verificou a validade da frase para alguns casos particulares, mas ainda ficou em dúvida quanto a sua validade geral.
a) Qual seria a explicação que você daria para este aluno?
b) Faça uma demonstração para tirar essa dúvida.

[LucasPinafiMOD]

a = 2p+1
b = 2q+1
Então
[tex3]a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) =2(p-q)(2p+2q+2) = 4(p-q)(p+q+1)[/tex3]
Para mostrar que é divisível por 8, basta achar mais um fator 2. Vejamos:
i) Se p e q forem ímpares, então p-q será par. Logo, o número será divisível por 8.
ii) Se p e q forem pares, então p-q será par. Logo, o número será divisível por 8.
iii) Se p e q tiverem paridades opostas, então p+q+1 é par. Logo, o número será divisísvel por 8;