Cap. 3 - Relações Métricas na Circunferência ⇒ Problema 069 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo de hipotenusa cujo tamanho é "c" e de inraio cujo tamanho é r.
Calcular a distância do incentro ao circuncentro dado que c(c-4r) = 4
A) 2
B) 4
C) 1
D) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
E) 3,5

Resposta

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Resposta:C

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{Pot(I): R^2 - IO^2 = AI.ID(I)
\\\angle DIB =\angle DAB+\angle ABI=\angle IBC(I)\\
\angle CBD = \angle CAD = \angle DAB (II)\\
\therefore \angle IBD = \angle IBC +\angle CBD = \angle IBC + \angle DAB \implies \triangle IDB_{(isosc)}\\
\therefore BD = BI \implies IO^2 = AI.BD(I)\\
Prolonga ~DO~até ~E~na~circunferência \implies DE = diâmetro\\
Unir BE\\
\angle DEB \cong \angle DAB\\
\angle EBD = 90^o \\
\triangle EBD \sim \triangle AIF:\\
\frac{IF}{BD} = \frac{AI}{ED} \implies \frac{r}{BD} = \frac{AI}{2R}\\
\therefore AI.BD = 2rR\\
Em(I):R^2-IO^2 = 2rR \implies IO^2 = R(R-2r)\\
R=\frac{c}{2} \implies IO^2 = \frac{c^2}{4} - rc \implies 4IO^2 = \underbrace{c^2-4rc}_{4}\\
\therefore IO^2 =1 \implies \boxed{IO=1}








}[/tex3]