Ensino Médio ⇒ (Fac. Albert Einstein) Polinômios Tópico resolvido

[Idel007]

(Fac. Albert Einstein - Medicina) Um polinômio de quinto grau tem 2 como uma raiz de multiplicidade 3. A razão entre o coeficiente do termo de quarto grau e o coeficiente do termo de quinto grau é igual a -7. A razão entre o termo independente e o coeficiente do termo de quinto grau é igual a 96. A menor raiz desse polinômio vale:

a) 0.
b) –1.
c) –2.
d) –3.

Resposta

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D

[GiovanaMSPMOD]

Relações de Girard para um polinômio de grau n.

[tex3]P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0[/tex3]

Soma das raízes: [tex3]-\frac{a_{n-1}}{a_n}[/tex3];

Produto das raízes duas a duas: [tex3]\frac{a_{n-2}}{a_n}[/tex3];

Produto das raízes três a três: [tex3]-\frac{a_{n-3}}{a_n}[/tex3];

.
.
.

Produto das raízes: [tex3]\frac{a_0(-1)^n}{a_n}[/tex3]

Para [tex3]n=5[/tex3]: [tex3]-\frac{a_{n-1}}{a_n}=-\frac{a_4}{a_5}=-(-7)=2+2+2+x_4+x_5\ \therefore\ x_4+x_5=1\ (i)[/tex3]

Novamente, para [tex3]n=5[/tex3]: [tex3]\frac{a_0(-1)^n}{a_n}=\frac{a_0\cdot (-1)^5}{a_5}=-\frac{a_0}{a_5}=-96=2^3x_4x_5\ \therefore\ x_4x_5=-12\ (ii)[/tex3]

De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3]: [tex3](x_4,x_5)=(-3,4)\ \vee\ (x_4,x_5)=(4,-3)[/tex3].

Deste modo, as raízes de [tex3]P(x)[/tex3] são [tex3](-3,2,2,2,4)[/tex3], tal que a menor raiz é [tex3]-3[/tex3], o que nos leva à alternativa D.