Cap. 3 - Relações Métricas na Circunferência ⇒ Problema 078- Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura se AB.BC = 60m² e BT.TP = 40m².
Calcular BT sendo B e T pontos de tangência.
A) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]m
B) 2[tex3]\sqrt{5}[/tex3]m
C) 5[tex3]\sqrt{2}[/tex3]m
D) 4[tex3]\sqrt{2}[/tex3]m
E) 10m

Resposta

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Resposta:B

[petrasMOD]

Seja O e O' os centros das circunferêncas maior e menor respecivamente
M e N as intereseçoes de AB e BC com a circunferência menor respectivamente.

[tex3]\mathsf{ \triangle BO_2M \sim \triangle BO_1A(I) \\
\triangle BO_2N \sim \triangle BO_1C(II) \\
\frac{BM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{r}{R}\\
\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{BC}=1−\frac{r}{R}\\
\frac{AM}{CN}=\frac{AB}{BC}\\
AM⋅AB=AT^2\\CN⋅BC=CT^2\\
\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{AM}{CN}⋅\frac{AB}{BC}=\frac{AT^2}{CT^2}\\
\frac{AB}{BC}=\frac{AT}{CT}(III)\\
BT_{bissetriz} ∠ABC\ \implies \frac{AT}{AB}=\frac{CT}{BC}=k\\
k^2=\frac{AT⋅CT}{AB⋅BC}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}.\\
BT^2=AB⋅BC(1−\frac{(AT+CT)^2}{(AB+BC)^2})\\
De(III):\frac{AT+CT}{AB+BC} = \frac{AT}{BC}(prop.proporções)\\
\therefore BT^2 = AB⋅BC(\frac{AT+CT}{AB+BC})^2(1−k^2)=60⋅\frac{1}{2}= \boxed{BT = \sqrt{20} = 2\sqrt5}.
}[/tex3]
Solução:Intelligentipauca)

[FelipeMartinMOD]

petras, [tex3]\triangle BO_2M \sim \triangle BO_1A[/tex3]

[petrasMOD]

FelipeMartin,

Corrigido,,,,grato pelo alerta