Cap. 3 - Relações Métricas na Circunferência ⇒ Problema 093 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

A partir de um ponto exterior "P" a uma circunferência se traçam as tangentes PA e PB.
Sobre o arco menor de [tex3]\overset{\LARGE{\frown}}{AB}[/tex3] se considera o ponto "M". Se AM = a e MB = b.
Calcular PM. Sendo m <APB = 60°.
A)[tex3]\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
B) [tex3]\sqrt{a^2+ab+b^2}[/tex3]
C) [tex3]\sqrt{ab}[/tex3]
D) [tex3]\sqrt{2(a^2+b^2)}[/tex3]
E) [tex3]\sqrt{a^2-ab+b^2}[/tex3]

Resposta

---

Resposta:E

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{
AP = PB: \angle APB=60^o \implies \triangle APB_{(equil)}\\

\triangle AMB:AB^2=a^2+b^2−2abcos(120^o)=a^2+b^2+ab\\

\alpha=\angle AOM \implies a=2Rsen(\frac{\alpha}{2})=2ABsen(\frac{\alpha}{2})\sqrt3⇒sen(\frac{\alpha}{2})=\frac{a\sqrt3}{2AB}\\

cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{1−sen^2(\frac{\alpha}{2})}=\frac{\sqrt{4AB^2−3a^2}}{2AB}=\frac{\sqrt{a^2+4b^2+4ab}}{2AB}=\frac{a+2b}{2AB}.\\

\angle MAP=\frac{\alpha}{2} \\
\triangle APM:PM^2=a^2+AP^2−2AP⋅acos(\frac{\alpha}{2})=a^2+AB^2−2a⋅AB⋅\frac{a+2b}{2AB}=a^2+a^2+b^2+ab−a^2−2ab\\
\therefore \boxed{PM=a^2+b^2−ab}
(Solução:LuisFuentes)















}[/tex3]