Ensino Médio ⇒ Geometria espacial esfera inscrita na pirâmide Tópico resolvido

[SCHOKKANTE]

A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular é igual ao dobro da área de sua base. A razão entre o volume da esfera inscrita nessa pirâmide e o volume da pirâmide é?

Resposta

---

Gabarito: π/9

[cajuADMIN]

Olá, @SCHOKKANTE.

Sendo uma pirâmide regular, sabemos que a base é um polígono regular e a pirâmide é reta. Como é uma pirâmide quadrangular (4 lados na base) o polígono regular da base é um quadrado de lado [tex3]b[/tex3].

https://www.geogebra.org/calculator/yf54zcmh

Chamando [tex3]\overline{GF}=h[/tex3] e [tex3]\overline{EF}=H[/tex3], temos:

Área lateral = [tex3]4\cdot\frac{b\cdot h}{2}[/tex3]

Área da base = [tex3]b^2[/tex3]

Área lateral é igual ao dobro da área da base:

[tex3]4\cdot\frac{b\cdot h}{2}=2b^2\Rightarrow\boxed{b=h}[/tex3]

Veja, na imagem, que podemos trabalhar no triângulo verde, pois há triângulos semelhantes ali:

[tex3]GI[/tex3] e [tex3]GE[/tex3] são tangentes à circunferência que representa a interseção do plano [tex3]GEF[/tex3] com a esfera. Portanto, [tex3]\overline{GI}=\overline{GE}[/tex3] e sabemos que [tex3]\overline{GE}=\frac{b}{2}[/tex3], portanto: [tex3]\overline{GI}=\overline{GE}=\frac{b}{2}[/tex3]. E como [tex3]\overline{GF}=h=b[/tex3], concluímos que [tex3]\boxed{\overline{IF}=\frac{b}{2}}[/tex3].

Chamamos a altura da pirâmide de [tex3]\overline{EF}=H[/tex3] e aplicando pitágoras no [tex3]\triangle GEF[/tex3]:

[tex3]\overline{GF}^2=\overline{EF}^2+\overline{GE}^2[/tex3]

[tex3]b^2=H^2+\(\frac{b}{2}\)^2\Rightarrow\boxed{H=\frac{b\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Como [tex3]I[/tex3] é ponto de tangência, [tex3]IH[/tex3] é perpendicular à [tex3]GF[/tex3]. Portanto, temos os triângulos [tex3]\triangle GEF \sim\triangle HIF[/tex3]. Aplicando semelhança:

[tex3]\frac{\overline{IF}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{HI}}{\overline{GE}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{b}{2}}{H}=\frac{R}{\frac{b}{2}}\Rightarrow\boxed{R=\frac{b\sqrt{3}}{6}}[/tex3]

Agora podemos calcular a razão solicitada:

[tex3]\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{pirâmide}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{A_\text{b}\cdot H}{3}}[/tex3]

[tex3]\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{pirâmide}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi \(\frac{b\sqrt{3}}{6}\)^3}{\frac{b^2\cdot \frac{b\sqrt{3}}{2}}{3}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{pirâmide}}}=\frac{\pi}{9}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

[SCHOKKANTE]

Olá, @SCHOKKANTE.

Sendo uma pirâmide regular, sabemos que a base é um polígono regular e a pirâmide é reta. Como é uma pirâmide quadrangular (4 lados na base) o polígono regular da base é um quadrado de lado [tex3]b[/tex3].

https://www.geogebra.org/calculator/yf54zcmh

Chamando [tex3]\overline{GF}=h[/tex3] e [tex3]\overline{EF}=H[/tex3], temos:

Área lateral = [tex3]4\cdot\frac{b\cdot h}{2}[/tex3]

Área da base = [tex3]b^2[/tex3]

Área lateral é igual ao dobro da área da base:

[tex3]4\cdot\frac{b\cdot h}{2}=2b^2\Rightarrow\boxed{b=h}[/tex3]

Veja, na imagem, que podemos trabalhar no triângulo verde, pois há triângulos semelhantes ali:

triangle.png

[tex3]GI[/tex3] e [tex3]GE[/tex3] são tangentes à circunferência que representa a interseção do plano [tex3]GEF[/tex3] com a esfera. Portanto, [tex3]\overline{GI}=\overline{GE}[/tex3] e sabemos que [tex3]\overline{GE}=\frac{b}{2}[/tex3], portanto: [tex3]\overline{GI}=\overline{GE}=\frac{b}{2}[/tex3]. E como [tex3]\overline{GF}=h=b[/tex3], concluímos que [tex3]\boxed{\overline{IF}=\frac{b}{2}}[/tex3].

Chamamos a altura da pirâmide de [tex3]\overline{EF}=H[/tex3] e aplicando pitágoras no [tex3]\triangle GEF[/tex3]:

[tex3]\overline{GF}^2=\overline{EF}^2+\overline{GE}^2[/tex3]

[tex3]b^2=H^2+\(\frac{b}{2}\)^2\Rightarrow\boxed{H=\frac{b\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Como [tex3]I[/tex3] é ponto de tangência, [tex3]IH[/tex3] é perpendicular à [tex3]GF[/tex3]. Portanto, temos os triângulos [tex3]\triangle GEF \sim\triangle HIF[/tex3]. Aplicando semelhança:

[tex3]\frac{\overline{IF}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{HI}}{\overline{GE}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{b}{2}}{H}=\frac{R}{\frac{b}{2}}\Rightarrow\boxed{R=\frac{b\sqrt{3}}{6}}[/tex3]

Agora podemos calcular a razão solicitada:

[tex3]\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{pirâmide}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{A_\text{b}\cdot H}{3}}[/tex3]

[tex3]\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{pirâmide}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi \(\frac{b\sqrt{3}}{6}\)^3}{\frac{b^2\cdot \frac{b\sqrt{3}}{2}}{3}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{pirâmide}}}=\frac{\pi}{9}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Muito obrigado mestre! Tinha tentado fazer de uma forma muito mais trabalhosa e não estava saindo. Me salvouksks