Cap. 4 - Problemas Adicionais ⇒ Problema 106 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura mostrada, se AB = 8m; BC = 5m e AC = 7m.
Calcular OH.
O:circuncentro e H:ortocentro
A) 1m
B) 2m
C) 3m
D) 4m
E) 2,5m

Resposta

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Resposta:C

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{
OH = \sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}\\
p= \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+ 7+ 8}{2}=10\\
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{10(5.3.2)} = 10\sqrt3\\
R = \frac{abc}{4S} = \frac{280}{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}{3}\\
\therefore OH =\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}\\
OH = \sqrt{9.\frac{49}{3}-(5^2+7^2+9^2)} = \sqrt{147 - 138}=\sqrt9\\
\therefore \boxed{OH = 3}
}[/tex3]


Demonstração da fórmula:[tex3] ∠HAO=|B−C|.OA=R,\\
AH=2RcosA\\
T.cossenos:\triangle AHO: OH^2=AH^2+AO^2−2AH⋅AOcos|B−C|=\\
4R^2cos2A+R^2−4R2cosAcos(B−C)=\\
5R^2−4R^2sen2A+4R^2cos(B+C)cos(B−C)=\\
9R^2−4R^2(sen2A+sen2B+sen2C)=9R^2−(a^2+b^2+c^2)\\[/tex3]