Cap. 4 - Problemas Adicionais ⇒ Problema 108 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura mostrada, G é baricentro e P um ponto qualquer,
Calcular PG se: AP2+BP2+CP2 = m e AG2+BG2+CG2 = n
A) [tex3]\sqrt{\frac{m-n}{1}}[/tex3]
B) [tex3]\sqrt{\frac{m-n}{2}}[/tex3]
C) [tex3]\sqrt{\frac{m-n}{3}}[/tex3]
D) [tex3]\sqrt{\frac{m-n}{4}}[/tex3]
E) [tex3]\sqrt{\frac{m-n}{5}}[/tex3]

Resposta

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Resposta:C

[petrasMOD]

Existe a seguinte relação para qualquer ponto P dentro do triângulo
A soma dos quadrados das distâncias do centróide de um triângulo aos seus vértices é igual a um terço da soma dos quadrados dos lados do triângulo.

[tex3]\mathsf{\underbrace{AG^2+BG^2+CG^2}_n= \frac{1}{3}(AB^2+BC^2+CA^2)}\\
[/tex3]

Para um ponto P qualquer no triângulo, a soma das distâncias quadradas das distâncias de P aos vértices A, B e C é:
[tex3]\underbrace{AP^2+BP^2+CP^2}_m=AG^2+BG^2+CG^2+3PG^2\\
\therefore m=n+3PG^2 \implies \boxed{PG=\sqrt \frac{m-n}{3}} [/tex3]


LInk das demonstrações das fórmulas:( https://blog.nekomath.com/geometria-mod ... centroide/)