Cap. 4 - Problemas Adicionais ⇒ Problema 111 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Na figura encontrar o raio da enésima circunferência.
A) [tex3]\frac{nR}{n+1}[/tex3]
B) [tex3]\frac{R}{n+1}[/tex3]
C)[tex3]\frac{R}{2n(n+1)}[/tex3]
D) [tex3]\frac{2R}{n}[/tex3]
E) [tex3]\frac{R}{(n+1)^2}[/tex3]

Resposta

---

Resposta:C

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{

(R+r_1)^2 = R^2+(R-r_1^2)\\
R^2+2Rr+r_1^2 = R^2+R^2-2Rr_1+r_1^2\\
\therefore r_1 = \frac{R}{4} \\

R^2+(R-\frac{R}{2}-r_2)^2 = (R+r_2)^2\\
R^2+(\frac{R}{2}-r_2)^2=R^2+2Rr_2+r_2^2\\
\frac{R^2}{4}-{Rr_2} = 2Rr_2\\
R^2-4Rr_2=8Rr_2 \implies r_2 = \frac{R}{12}\\


R^2+(R-\frac{R}{2}-\frac{R}{6}-r_3)^2 = (R+r_3)^2\\
R^2+(\frac{R}{3}-r_3)^2=R^2+2Rr_3+r_3^2\\
\frac{R^2}{9}-\frac{2Rr}{3} = 2Rr_3\\
R^2-6Rr_3=18Rr_3 \implies r_3 = \frac{R}{24}...\\
(\frac{R}{4}, \frac{R}{12}, \frac{R}{24}...) \implies \frac{R}{2n(n+1)}

}
[/tex3]

[petrasMOD]

Outra resolução:
[tex3]\mathsf{
2r_n=h_n − h_{n+1}\\
(R+r_n)^2=(h_n − r_n)^2+R^2\\

R^2 + 2Rr_n + r_n^2 = h_n^2 − 2h_n r_n+r_n^2+R2⟶2r_ n=\frac{h_n^2}{R+h_n}=h_n−h_{n+1}⟶\frac{1}{h_n+1}=\frac{1}{h_{n}}+\frac{1}{R}\\
A~ recorrência~é~trivial: h_ 1=R⟶\frac{1}{h_n}=\frac{n}{R}\\
∴rn=\frac{1}{2}(h_n−h_{n+1})=\frac{R}{2} \(\frac{1}{n}−\frac{1}{n+1}\)=\boxed{\frac{R}{2n(n+1) }}}[/tex3]
(Solução:Abdulai)